Tìm GTLN của biểu thức: A=-5x^2-12y^2+12xy+28x-36y+1984,5

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -5x^2 - 12y^2 + 12xy + 28x - 36y + 1984,5 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan để dễ dàng hoàn chỉnh bình phương. \[ A = -5x^2 + 12xy - 12y^2 + 28x - 36y + 1984,5 \] Bước 2: Nhóm các hạng tử liên quan để dễ dàng hoàn chỉnh bình phương. \[ A = -5(x^2 - \frac{12}{5}xy + \frac{12}{5}y^2) + 28x - 36y + 1984,5 \] Bước 3: Hoàn chỉnh bình phương cho biểu thức trong ngoặc. \[ A = -5(x^2 - \frac{12}{5}xy + \frac{12}{5}y^2) + 28x - 36y + 1984,5 \] \[ A = -5((x - \frac{6}{5}y)^2 - (\frac{6}{5}y)^2 + \frac{12}{5}y^2) + 28x - 36y + 1984,5 \] \[ A = -5((x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{36}{25}y^2 + \frac{12}{5}y^2) + 28x - 36y + 1984,5 \] \[ A = -5((x - \frac{6}{5}y)^2 + \frac{24}{25}y^2) + 28x - 36y + 1984,5 \] \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}y^2 + 28x - 36y + 1984,5 \] Bước 4: Nhóm các hạng tử liên quan để dễ dàng hoàn chỉnh bình phương. \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}y^2 + 28x - 36y + 1984,5 \] \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}(y^2 - \frac{15}{4}y) + 1984,5 \] Bước 5: Hoàn chỉnh bình phương cho biểu thức trong ngoặc. \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}((y - \frac{15}{8})^2 - (\frac{15}{8})^2) + 1984,5 \] \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}(y - \frac{15}{8})^2 + \frac{24}{5} \cdot \frac{225}{64} + 1984,5 \] \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}(y - \frac{15}{8})^2 + \frac{1080}{32} + 1984,5 \] \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}(y - \frac{15}{8})^2 + 33,75 + 1984,5 \] \[ A = -5(x - \frac{6}{5}y)^2 - \frac{24}{5}(y - \frac{15}{8})^2 + 2018,25 \] Bước 6: Nhận thấy rằng \(-5(x - \frac{6}{5}y)^2\) và \(-\frac{24}{5}(y - \frac{15}{8})^2\) đều là các bình phương nhân với số âm, do đó chúng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là khi cả hai bình phương này đều bằng 0. Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 2018,25, đạt được khi \(x = \frac{6}{5}y\) và \(y = \frac{15}{8}\). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \(A\) là 2018,25, đạt được khi \(x = \frac{6}{5}y\) và \(y = \frac{15}{8}\).