Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;1), B(1;-2;3). Biết điểm M(x;0;z) thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho MA+MB ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức P=3z-x^2.

Để tìm giá trị của biểu thức \(P = 3z - x^2\) khi điểm \(M(x;0;z)\) thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxz) sao cho \(MA + MB\) ngắn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxz): Điểm \(B(1; -2; 3)\) có điểm đối xứng qua mặt phẳng (Oxz) là \(B'(1; 2; 3)\). 2. Tìm đường thẳng đi qua A và B': Đường thẳng đi qua \(A(1; 3; 1)\) và \(B'(1; 2; 3)\) sẽ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \] Trong đó, \(t\) là tham số. 3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (Oxz): Mặt phẳng (Oxz) có phương trình \(y = 0\). Thay vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ 3 + t = 0 \implies t = -3 \] Thay \(t = -3\) vào phương trình tham số để tìm tọa độ của điểm \(M\): \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \\ z = 1 + 2(-3) = 1 - 6 = -5 \end{cases} \] Vậy điểm \(M\) có tọa độ là \(M(1; 0; -5)\). 4. Tính giá trị của biểu thức \(P = 3z - x^2\): Thay \(x = 1\) và \(z = -5\) vào biểu thức \(P\): \[ P = 3(-5) - 1^2 = -15 - 1 = -16 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là \(\boxed{-16}\).