cho số tự nhiên a =2 mũ 2017+3 mũ 2017 và b=2 mũ 2018 +3 mũ 2018. CM a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng hai số $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Bước 1: Xác định $a$ và $b$
$$ a = 2^{2017} + 3^{2017} $$
$$ b = 2^{2018} + 3^{2018} $$

Bước 2: Giả sử $d$ là ước chung của cả $a$ và $b$. Điều này có nghĩa là:
$$ a \div d = k_1 \quad \text{(k_1 là số nguyên)} $$
$$ b \div d = k_2 \quad \text{(k_2 là số nguyên)} $$

Bước 3: Ta có:
$$ 2^{2018} + 3^{2018} = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} $$

Bước 4: Biểu diễn $b$ theo $a$:
$$ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$

Bước 5: Ta thấy rằng:
$$ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$

Bước 6: Giả sử $d$ là ước chung của cả $a$ và $b$. Điều này có nghĩa là:
$$ a \div d = k_1 \quad \text{(k_1 là số nguyên)} $$
$$ b \div d = k_2 \quad \text{(k_2 là số nguyên)} $$

Bước 7: Ta có:
$$ 2^{2018} + 3^{2018} = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} $$

Bước 8: Biểu diễn $b$ theo $a$:
$$ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$

Bước 9: Ta thấy rằng:
$$ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$
$$ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) $$

Bước 10: Kết luận:
Do $d$ phải chia hết cho cả $2^{2017}$ và $3^{2017}$, nhưng $2^{2017}$ và $3^{2017}$ là hai số nguyên tố khác nhau, nên $d$ chỉ có thể là 1.

Vậy $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.