cho số tự nhiên a =2 mũ 2017+3 mũ 2017 và b=2 mũ 2018 +3 mũ 2018. CM a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau

Để chứng minh rằng hai số \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 1. Bước 1: Xác định \(a\) và \(b\) \[ a = 2^{2017} + 3^{2017} \] \[ b = 2^{2018} + 3^{2018} \] Bước 2: Giả sử \(d\) là ước chung của cả \(a\) và \(b\). Điều này có nghĩa là: \[ a \div d = k_1 \quad \text{(k_1 là số nguyên)} \] \[ b \div d = k_2 \quad \text{(k_2 là số nguyên)} \] Bước 3: Ta có: \[ 2^{2018} + 3^{2018} = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} \] Bước 4: Biểu diễn \(b\) theo \(a\): \[ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] Bước 5: Ta thấy rằng: \[ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] Bước 6: Giả sử \(d\) là ước chung của cả \(a\) và \(b\). Điều này có nghĩa là: \[ a \div d = k_1 \quad \text{(k_1 là số nguyên)} \] \[ b \div d = k_2 \quad \text{(k_2 là số nguyên)} \] Bước 7: Ta có: \[ 2^{2018} + 3^{2018} = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} \] Bước 8: Biểu diễn \(b\) theo \(a\): \[ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] Bước 9: Ta thấy rằng: \[ b = 2 \cdot 2^{2017} + 3 \cdot 3^{2017} \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] \[ b = 2 \cdot (2^{2017}) + 3 \cdot (3^{2017}) \] Bước 10: Kết luận: Do \(d\) phải chia hết cho cả \(2^{2017}\) và \(3^{2017}\), nhưng \(2^{2017}\) và \(3^{2017}\) là hai số nguyên tố khác nhau, nên \(d\) chỉ có thể là 1. Vậy \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau.