Giúp vơi ạ

Câu 32. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u} = (1; 1; -2)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 0; m)\) bằng \(45^\circ\), ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai véc tơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Bây giờ, ta thay vào công thức cosin góc giữa hai véc tơ: \[ \cos 45^\circ = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Biết rằng \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{2}\): \[ 1 = \frac{(1 - 2m) \sqrt{2}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}\): \[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} = (1 - 2m) \sqrt{2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ 6(1 + m^2) = 2(1 - 2m)^2 \] Phát triển và giản ước: \[ 6 + 6m^2 = 2(1 - 4m + 4m^2) \] \[ 6 + 6m^2 = 2 - 8m + 8m^2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 6 + 6m^2 - 2 + 8m - 8m^2 = 0 \] \[ -2m^2 + 8m + 4 = 0 \] Chia cả phương trình cho -2: \[ m^2 - 4m - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ m = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ m = 2 \pm \sqrt{6} \] Vậy, các giá trị của \( m \) là: \[ m = 2 + \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad m = 2 - \sqrt{6} \] Đáp án đúng là: B. \( m = 2 \pm \sqrt{6} \) Câu 33: Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần biết dữ liệu cụ thể về thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của các học sinh. Tuy nhiên, vì dữ liệu chưa được cung cấp, tôi sẽ giả sử một ví dụ để minh họa cách lập luận từng bước. Giả sử thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau: | Thời gian (phút) | Số học sinh | |------------------|-------------| | 0 - 30 | 5 | | 30 - 60 | 10 | | 60 - 90 | 7 | | 90 - 120 | 3 | Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để giải quyết bài toán. Bước 1: Xác định tổng số học sinh Tổng số học sinh = 5 + 10 + 7 + 3 = 25 học sinh Bước 2: Xác định thời gian trung bình Để tính thời gian trung bình, chúng ta cần tính tổng thời gian truy cập Internet của tất cả các học sinh và chia cho tổng số học sinh. - Thời gian trung bình của nhóm 0 - 30 phút: $\frac{0 + 30}{2} = 15$ phút - Thời gian trung bình của nhóm 30 - 60 phút: $\frac{30 + 60}{2} = 45$ phút - Thời gian trung bình của nhóm 60 - 90 phút: $\frac{60 + 90}{2} = 75$ phút - Thời gian trung bình của nhóm 90 - 120 phút: $\frac{90 + 120}{2} = 105$ phút Tổng thời gian truy cập Internet của tất cả các học sinh: \[ (15 \times 5) + (45 \times 10) + (75 \times 7) + (105 \times 3) = 75 + 450 + 525 + 315 = 1365 \text{ phút} \] Thời gian trung bình: \[ \frac{1365}{25} = 54.6 \text{ phút} \] Bước 3: Xác định thời gian trung vị Thời gian trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Với 25 học sinh, thời gian trung vị sẽ là giá trị ở vị trí thứ 13. - Nhóm 0 - 30 phút có 5 học sinh (từ vị trí 1 đến 5) - Nhóm 30 - 60 phút có 10 học sinh (từ vị trí 6 đến 15) Vì vậy, thời gian trung vị nằm trong nhóm 30 - 60 phút. Ta có thể tính thời gian trung vị chính xác hơn bằng cách sử dụng công thức: \[ Q_2 = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \(L\) là giới hạn dưới của nhóm chứa giá trị trung vị (30 phút) - \(n\) là tổng số học sinh (25) - \(F\) là tổng số học sinh trước nhóm chứa giá trị trung vị (5) - \(f\) là số học sinh trong nhóm chứa giá trị trung vị (10) - \(w\) là khoảng rộng của nhóm (30 phút) \[ Q_2 = 30 + \left( \frac{\frac{25}{2} - 5}{10} \right) \times 30 = 30 + \left( \frac{12.5 - 5}{10} \right) \times 30 = 30 + \left( \frac{7.5}{10} \right) \times 30 = 30 + 22.5 = 52.5 \text{ phút} \] Kết luận - Thời gian trung bình truy cập Internet mỗi buổi tối của các học sinh là 54.6 phút. - Thời gian trung vị truy cập Internet mỗi buổi tối của các học sinh là 52.5 phút. Đây là cách lập luận từng bước để giải quyết bài toán dựa trên dữ liệu giả định. Nếu bạn có dữ liệu thực tế, bạn có thể áp dụng các bước tương tự để giải quyết bài toán.