jcjcnhxhch

Bài 2: Để chứng minh rằng với $n\in\mathbb N,~n\geq3$ ta có: $A=\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+...+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{12}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng phân số với các phân số lớn hơn nhưng dễ tính hơn. Bước 1: Xét các phân số $\frac{1}{k^3}$ với $k \geq 3$. Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{k^3} < \frac{1}{k(k-1)(k+1)} \] Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng: \[ \frac{1}{k(k-1)(k+1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{k(k-1)} - \frac{1}{k(k+1)} \right) \] Thật vậy: \[ \frac{1}{k(k-1)(k+1)} = \frac{1}{k(k-1)} \cdot \frac{1}{k+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k-1)} - \frac{1}{k(k+1)} \right) \] Bước 3: Áp dụng công thức trên cho các phân số trong tổng $A$: \[ A = \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \frac{1}{5^3} + ... + \frac{1}{n^3} \] \[ < \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \left( \frac{1}{4 \cdot 3} - \frac{1}{4 \cdot 5} \right) + \left( \frac{1}{5 \cdot 4} - \frac{1}{5 \cdot 6} \right) + ... + \left( \frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n(n+1)} \right) \right) \] Bước 4: Nhóm các phân số lại để thấy rằng đây là một dãy tổng thuần nhất: \[ A < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) \] Bước 5: Ta biết rằng: \[ \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{1}{n(n+1)} \] là một phân số rất nhỏ khi $n$ lớn. Do đó: \[ A < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{n(n+1)} \right) \] \[ A < \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ A = \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \frac{1}{5^3} + ... + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{12} \] Đáp số: $A < \frac{1}{12}$