Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1 a) Ta xét phương trình $x^2 - 2(m-2)x + 2m - 5 = 0$. Để chứng minh phương trình này có nghiệm với mọi giá trị của $m$, ta cần kiểm tra dấu của $\Delta$ (delta) - biệt thức của phương trình bậc hai. $\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m-5)$ $= 4(m-2)^2 - 4(2m-5)$ $= 4(m^2 - 4m + 4) - 8m + 20$ $= 4m^2 - 16m + 16 - 8m + 20$ $= 4m^2 - 24m + 36$ $= 4(m^2 - 6m + 9)$ $= 4(m-3)^2$ Vì $(m-3)^2 \geq 0$ với mọi giá trị của $m$, nên $\Delta \geq 0$ với mọi giá trị của $m$. Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$. b) Để phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho một trong hai nghiệm của phương trình nhỏ hơn 1. Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$. Ta có: $x_1 + x_2 = 2(m-2)$ $x_1 \cdot x_2 = 2m - 5$ Ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho $x_1 < 1$ hoặc $x_2 < 1$. Giả sử $x_1 < 1$, ta có: $x_1 < 1$ $2(m-2) - x_2 < 1$ $2(m-2) - 1 < x_2$ $2m - 5 < x_2$ Do đó, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho $2m - 5 < 1$. $2m - 5 < 1$ $2m < 6$ $m < 3$ Vậy, để phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1, ta cần $m < 3$. c) Để phương trình có nghiệm bằng $1 - 2\sqrt{3}$, ta thay $x = 1 - 2\sqrt{3}$ vào phương trình và giải tìm $m$. $(1 - 2\sqrt{3})^2 - 2(m-2)(1 - 2\sqrt{3}) + 2m - 5 = 0$ $1 - 4\sqrt{3} + 12 - 2(m-2)(1 - 2\sqrt{3}) + 2m - 5 = 0$ $13 - 4\sqrt{3} - 2(m-2)(1 - 2\sqrt{3}) + 2m - 5 = 0$ $8 - 4\sqrt{3} - 2(m-2)(1 - 2\sqrt{3}) + 2m = 0$ $8 - 4\sqrt{3} - 2(m - 2 - 2m\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) + 2m = 0$ $8 - 4\sqrt{3} - 2m + 4 + 4m\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 2m = 0$ $12 - 12\sqrt{3} + 4m\sqrt{3} = 0$ $12 + 4m\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ $4m\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 12$ $4m\sqrt{3} = 12(\sqrt{3} - 1)$ $m = 3(\sqrt{3} - 1)$ Vậy, để phương trình có nghiệm bằng $1 - 2\sqrt{3}$, ta cần $m = 3(\sqrt{3} - 1)$. Bài 2: 1) Phương trình có nghiệm khi $\Delta \geq 0$. Ta có: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(m^2 - 2m) = 4m^2 - 4m^2 + 8m = 8m \] Phương trình có nghiệm khi $8m \geq 0$, tức là $m \geq 0$. 2) Thay $x = 1$ vào phương trình: \[ 1^2 - 2m(1) + m^2 - 2m = 0 \implies 1 - 2m + m^2 - 2m = 0 \implies m^2 - 4m + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] Vậy $m = 2 + \sqrt{3}$ hoặc $m = 2 - \sqrt{3}$. 3) Phương trình có nghiệm kép khi $\Delta = 0$. Ta có: \[ 8m = 0 \implies m = 0 \] Thay $m = 0$ vào phương trình ban đầu: \[ x^2 = 0 \implies x = 0 \] Vậy nghiệm kép là $x = 0$. 4) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$. Ta có: \[ 8m > 0 \implies m > 0 \] 5) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi tích của hai nghiệm nhỏ hơn 0. Tích của hai nghiệm là: \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m^2 - 2m}{1} = m^2 - 2m \] Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $m^2 - 2m < 0$. Giải bất phương trình này: \[ m(m - 2) < 0 \implies 0 < m < 2 \] Đáp số: 1) $m \geq 0$ 2) $m = 2 + \sqrt{3}$ hoặc $m = 2 - \sqrt{3}$ 3) $m = 0$, nghiệm kép là $x = 0$ 4) $m > 0$ 5) $0 < m < 2$ Bài 3: a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - Nếu \( m = 2 \): Phương trình trở thành \(-10x + 3 = 0\) có nghiệm \( x = \frac{3}{10} \). - Nếu \( m \neq 2 \): Phương trình là phương trình bậc hai, có nghiệm khi và chỉ khi \( \Delta \geq 0 \). Tính \( \Delta \): \[ \Delta = (-2(m+3))^2 - 4(m-2)(m+1) = 4(m+3)^2 - 4(m-2)(m+1) = 4(m^2 + 6m + 9) - 4(m^2 - m - 2) = 4m^2 + 24m + 36 - 4m^2 + 4m + 8 = 28m + 44 \] Phương trình có nghiệm khi: \[ 28m + 44 \geq 0 \] \[ m \geq -\frac{11}{7} \] Vậy phương trình có nghiệm khi \( m = 2 \) hoặc \( m \geq -\frac{11}{7} \). b) Phương trình có nghiệm kép khi \( \Delta = 0 \): \[ 28m + 44 = 0 \] \[ m = -\frac{11}{7} \] Thay \( m = -\frac{11}{7} \) vào phương trình: \[ \left( -\frac{11}{7} - 2 \right)x^2 - 2 \left( -\frac{11}{7} + 3 \right)x - \frac{11}{7} + 1 = 0 \] \[ \left( -\frac{25}{7} \right)x^2 - 2 \left( \frac{10}{7} \right)x - \frac{4}{7} = 0 \] \[ -\frac{25}{7}x^2 - \frac{20}{7}x - \frac{4}{7} = 0 \] \[ -25x^2 - 20x - 4 = 0 \] \[ 25x^2 + 20x + 4 = 0 \] \[ (5x + 2)^2 = 0 \] \[ x = -\frac{2}{5} \] Vậy nghiệm kép là \( x = -\frac{2}{5} \). c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \( \Delta > 0 \): \[ 28m + 44 > 0 \] \[ m > -\frac{11}{7} \] Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \( m > -\frac{11}{7} \) và \( m \neq 2 \). d) Phương trình vô nghiệm khi \( \Delta < 0 \): \[ 28m + 44 < 0 \] \[ m < -\frac{11}{7} \] Vậy phương trình vô nghiệm khi \( m < -\frac{11}{7} \). Đáp số: a) \( m = 2 \) hoặc \( m \geq -\frac{11}{7} \) b) \( m = -\frac{11}{7} \), nghiệm kép \( x = -\frac{2}{5} \) c) \( m > -\frac{11}{7} \) và \( m \neq 2 \) d) \( m < -\frac{11}{7} \)