Để xác định phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi phương trình có dạng \(ax + by = c\) hay không, trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là các hằng số và \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0.
A. \(0x + 0y = 5\)
- Đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hệ số của \(x\) và \(y\) đều bằng 0.
B. \(\sqrt{3}x - 92y = 1\)
- Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\) với \(a = \sqrt{3}\), \(b = -92\), và \(c = 1\).
C. \(-2x + \frac{1}{7}y = 0\)
- Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\) với \(a = -2\), \(b = \frac{1}{7}\), và \(c = 0\).
D. \(-10x + 8y = 24\)
- Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn vì nó có dạng \(ax + by = c\) với \(a = -10\), \(b = 8\), và \(c = 24\).
Như vậy, các phương trình bậc nhất hai ẩn là:
- B. \(\sqrt{3}x - 92y = 1\)
- C. \(-2x + \frac{1}{7}y = 0\)
- D. \(-10x + 8y = 24\)
Đáp án: B, C, D.
Câu 2.
Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l4x-3y=21\\2x-5y=21\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với 2 và nhân phương trình thứ hai với 4 để đồng nhất hệ số của biến $x$:
\[
\left\{\begin{array}l
8x - 6y = 42 \\
8x - 20y = 84
\end{array}\right.
\]
Bước 2: Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất để loại bỏ biến $x$:
\[
(8x - 6y) - (8x - 20y) = 42 - 84
\]
\[
8x - 6y - 8x + 20y = -42
\]
\[
14y = -42
\]
\[
y = -3
\]
Bước 3: Thay giá trị của $y$ vào phương trình thứ nhất để tìm giá trị của $x$:
\[
4x - 3(-3) = 21
\]
\[
4x + 9 = 21
\]
\[
4x = 12
\]
\[
x = 3
\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(3, -3)$.
Đáp án đúng là: C. $(3, -3)$.
Câu 3.
Để xác định bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn x, chúng ta cần kiểm tra từng phương án:
A. \( x^2 - 4 \leq 0 \)
Phương trình này có dạng \( x^2 - 4 \leq 0 \), đây là một bất phương trình bậc hai vì có \( x^2 \).
B. \( 2x + 3 > 0 \)
Phương trình này có dạng \( 2x + 3 > 0 \), đây là một bất phương trình bậc nhất vì chỉ có \( x \) ở dạng bậc nhất.
C. \( \frac{x+1}{x} \geq 0 \)
Phương trình này có dạng \( \frac{x+1}{x} \geq 0 \), đây là một bất phương trình chứa phân thức, không phải là bất phương trình bậc nhất.
D. \( x^3 < 0 \)
Phương trình này có dạng \( x^3 < 0 \), đây là một bất phương trình bậc ba vì có \( x^3 \).
Như vậy, chỉ có phương án B là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.
Đáp án đúng là: B. \( 2x + 3 > 0 \)
Câu 4.
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho \( x^2 = a \).
Do đó, đáp án đúng là:
A. \( x^2 = a \).
Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác.
1. Xác định các yếu tố trong bài toán:
- Máy bay xuất phát từ điểm A và bay lên theo đường thẳng tạo với phương ngang một góc nâng \(20^\circ\).
- Máy bay đi được 10 km đến vị trí B.
- Độ cao của máy bay so với mặt đất là BH.
2. Xây dựng mô hình toán học:
- Tam giác ABH là tam giác vuông tại H.
- Góc AHB = \(20^\circ\).
- AB = 10 km.
3. Áp dụng tỉ số lượng giác:
- Ta cần tìm độ cao BH, tức là cạnh đối diện với góc \(20^\circ\) trong tam giác ABH.
- Sử dụng tỉ số lượng giác sin:
\[
\sin(20^\circ) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{BH}{AB}
\]
- Thay các giá trị vào:
\[
\sin(20^\circ) = \frac{BH}{10}
\]
4. Tìm giá trị của \(\sin(20^\circ)\):
- \(\sin(20^\circ) \approx 0.342\)
5. Giải phương trình để tìm BH:
\[
0.342 = \frac{BH}{10}
\]
\[
BH = 0.342 \times 10
\]
\[
BH \approx 3.42 \text{ km}
\]
6. Làm tròn đến hàng đơn vị:
- \(3.42 \text{ km}\) làm tròn đến hàng đơn vị là 3 km.
Đáp án: D. 3 km.
Câu 6.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần dựa vào các kiến thức về đường tròn và mối quan hệ giữa đường tròn và đường thẳng.
1. Đường tròn cắt đường thẳng:
- Nếu đường tròn cắt đường thẳng, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng sẽ nhỏ hơn bán kính của đường tròn.
- Do đó, nếu đường tròn $(O;R)$ cắt đường thẳng $a_1$, ta có $d_1 < R$.
2. Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng:
- Nếu đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng sẽ bằng bán kính của đường tròn.
- Do đó, nếu đường tròn $(O;R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a_2$, ta có $d_2 = R$.
Từ những lý thuyết trên, ta có thể kết luận:
- $d_1 < R$
- $d_2 = R$
Vậy đáp án đúng là: B. $d_1 < R; d_2 = R$.
Câu 7.
A. $ac > bc.$
- Để khẳng định này đúng, ta cần biết dấu của $c$. Nếu $c > 0$, thì $ac > bc$ là đúng. Nếu $c < 0$, thì $ac < bc$ là sai. Vì vậy, không thể khẳng định chắc chắn mà không biết giá trị của $c$.
Sai.
B. $a^2 > b^2.$
- Ta xét hai trường hợp:
1. Nếu $a$ và $b$ đều dương, do $a > b$, nên $a^2 > b^2$.
2. Nếu $a$ dương và $b$ âm, do $a > b$, nên $a^2 > b^2$.
3. Nếu $a$ và $b$ đều âm, do $a > b$, tức là $|a| < |b|$, nên $a^2 < b^2$.
Vì vậy, không thể khẳng định chắc chắn mà không biết giá trị cụ thể của $a$ và $b$.
Sai.
C. $a + c > b + c.$
- Ta có $a > b$. Khi cộng thêm cùng một số $c$ vào cả hai vế, ta vẫn giữ được mối quan hệ lớn hơn: $a + c > b + c$.
Đúng.
D. $c - a < c - b.$
- Ta có $a > b$. Khi trừ cùng một số $c$ từ cả hai vế, ta vẫn giữ được mối quan hệ lớn hơn: $-a < -b$. Do đó, $c - a < c - b$.
Đúng.
Kết luận:
A. Sai
B. Sai
C. Đúng
D. Đúng
Câu 8.
Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của câu hỏi một cách chi tiết.
Phần a: Tính hiệu \( A - B \)
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- \( A = \frac{a}{\sqrt{5}+1} + \frac{a}{\sqrt{5}-2} - \frac{a}{3-\sqrt{5}} - \sqrt{5a^2} \)
- \( B = \sqrt{(a+5)^2} \)
- Điều kiện xác định: \( a \geq 0 \)
Bước 2: Rút gọn biểu thức \( A \)
- \( A = \frac{a}{\sqrt{5}+1} + \frac{a}{\sqrt{5}-2} - \frac{a}{3-\sqrt{5}} - \sqrt{5a^2} \)
- Ta thấy rằng \( \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \) (vì \( a \geq 0 \))
Bước 3: Rút gọn biểu thức \( B \)
- \( B = \sqrt{(a+5)^2} = |a+5| \)
- Vì \( a \geq 0 \), nên \( a + 5 \geq 5 \), do đó \( |a+5| = a + 5 \)
Bước 4: Tính hiệu \( A - B \)
- \( A - B = \left( \frac{a}{\sqrt{5}+1} + \frac{a}{\sqrt{5}-2} - \frac{a}{3-\sqrt{5}} - a\sqrt{5} \right) - (a + 5) \)
Ta cần kiểm tra từng phân thức để rút gọn:
- \( \frac{a}{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{a(\sqrt{5}-1)}{4} \)
- \( \frac{a}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{a(\sqrt{5}+2)}{1} = a(\sqrt{5}+2) \)
- \( \frac{a}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{a(3+\sqrt{5})}{4} \)
Tổng hợp lại:
\[ A = \frac{a(\sqrt{5}-1)}{4} + a(\sqrt{5}+2) - \frac{a(3+\sqrt{5})}{4} - a\sqrt{5} \]
Rút gọn:
\[ A = \frac{a(\sqrt{5}-1) + 4a(\sqrt{5}+2) - a(3+\sqrt{5}) - 4a\sqrt{5}}{4} \]
\[ A = \frac{a(\sqrt{5}-1 + 4\sqrt{5} + 8 - 3 - \sqrt{5} - 4\sqrt{5})}{4} \]
\[ A = \frac{a(4)}{4} = a \]
Do đó:
\[ A - B = a - (a + 5) = -5 \]
Phần b: Giải hệ phương trình
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x - 3y = 2 \\
5v = 1
\end{array}
\right. \]
Bước 1: Giải phương trình \( 5v = 1 \)
\[ v = \frac{1}{5} \]
Bước 2: Thay \( v = \frac{1}{5} \) vào phương trình \( x - 3y = 2 \)
\[ x - 3y = 2 \]
Kết luận:
- \( v = \frac{1}{5} \)
- \( x - 3y = 2 \)
Đáp số:
\[ A - B = -5 \]
\[ v = \frac{1}{5}, \quad x - 3y = 2 \]