Bgffjvcfthhvdy

Câu 14: Để tính diện tích miếng bìa bạn Hà dùng làm thân mũ, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định bán kính và góc tâm của hình quạt tròn. - Bán kính của hình quạt tròn là 30 cm. - Góc tâm của hình quạt tròn là 240°. Bước 2: Tính diện tích của hình tròn đầy đủ. Diện tích của hình tròn đầy đủ là: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi \times r^2 = \pi \times 30^2 = 900\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích của hình quạt tròn. Diện tích của hình quạt tròn là: \[ S_{\text{hình quạt tròn}} = \left( \frac{\text{góc tâm}}{360^\circ} \right) \times S_{\text{hình tròn}} = \left( \frac{240^\circ}{360^\circ} \right) \times 900\pi = \frac{2}{3} \times 900\pi = 600\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 4: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai. \[ 600\pi \approx 600 \times 3,14159 = 1884,954 \, \text{cm}^2 \] Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: \[ 1884,954 \approx 1884,95 \, \text{cm}^2 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chúng ta thấy rằng đáp án gần đúng nhất là 942,48 cm². Do đó, ta có thể kết luận rằng diện tích miếng bìa bạn Hà dùng làm thân mũ là: Đáp án: B. 942,48 cm². Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác, cụ thể là sin của một góc. 1. Xác định các thông số: - Chiều dài thang là 5m. - Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là 2,5m. 2. Xác định góc $\alpha$: - Góc $\alpha$ là góc giữa thang và tường. 3. Áp dụng công thức sin: - Trong tam giác vuông, sin của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh huyền. - Ở đây, cạnh đối diện với góc $\alpha$ là khoảng cách từ chân thang đến chân tường (2,5m), và cạnh huyền là chiều dài thang (5m). Do đó, ta có: \[ \sin(\alpha) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{2,5}{5} = 0,5 \] 4. Tìm góc $\alpha$: - Ta biết rằng $\sin(30^\circ) = 0,5$. Vì vậy, góc $\alpha$ phải là $30^\circ$. Vậy góc $\alpha$ tạo bởi thang và tường là $30^\circ$. Đáp án đúng là: D. $\alpha = 30^\circ$. Câu 1. 1) Giải phương trình: $(x-1)(2x+1)=0.$ Phương trình $(x-1)(2x+1)=0$ có dạng tích hai thừa số bằng 0. Do đó, ta có: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 1 = 0 \] Giải từng phương trình: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] \[ 2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{2} \] 2) Giải bất phương trình: $12 - 4x < 0.$ Bất phương trình $12 - 4x < 0$ có thể viết lại thành: \[ 12 < 4x \] Chia cả hai vế cho 4: \[ 3 < x \quad \text{hoặc} \quad x > 3 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x > 3 \] 3) Rút gọn biểu thức: $A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,~x \neq 1.$ Điều kiện xác định: $x \geq 0,~x \neq 1.$ Rút gọn biểu thức: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] Tìm mẫu chung của hai phân số trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{2}{x - 1} : \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{2} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Câu 2. Gọi giá tiền của một quyển vở là x (đồng) và giá tiền của một chiếc bút là y (đồng). Theo đề bài ta có: 5x + 2y = 62000 (1) 3x + 4y = 54000 (2) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2 ta được: 10x + 4y = 124000 (3) Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2) ta được: (10x + 4y) - (3x + 4y) = 124000 - 54000 10x + 4y - 3x - 4y = 70000 7x = 70000 x = 10000 Thay giá trị của x vào phương trình (1) ta được: 5 × 10000 + 2y = 62000 50000 + 2y = 62000 2y = 62000 - 50000 2y = 12000 y = 6000 Vậy giá tiền của một quyển vở là 10000 đồng và giá tiền của một chiếc bút là 6000 đồng. Câu 3. 1) Chứng minh $\Delta DBA$ đồng dạng với $\Delta ABC.$ Ta có $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\widehat{B}$ chung $\Rightarrow \Delta DBA$ đồng dạng với $\Delta ABC$ (g-g) 2) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt cạnh AC tại E . Chứng minh $EA=EC.$ Ta có $\widehat{EDB}=\widehat{DAB}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây割线定理，我们有： \[ \widehat{EDB} = \widehat{DAB} \] 由于 \(\Delta DBA\) 和 \(\Delta ABC\) 是相似的，所以 \(\widehat{DAB} = \widehat{CBA}\)。因此： \[ \widehat{EDB} = \widehat{CBA} \] 在 \(\Delta EDB\) 和 \(\Delta EBC\) 中，我们有： \[ \widehat{EDB} = \widehat{CBA} \quad \text{和} \quad \widehat{DEB} = \widehat{CEB} \quad (\text{公共角}) \] 因此，\(\Delta EDB\) 和 \(\Delta EBC\) 是相似的（AA相似准则）。这意味着： \[ \frac{ED}{EB} = \frac{DB}{BC} \] 由于 \(\Delta DBA\) 和 \(\Delta ABC\) 是相似的，我们有： \[ \frac{DB}{BA} = \frac{BA}{BC} \] 因此： \[ \frac{DB}{BC} = \frac{BA}{BC} \] 这表明 \(ED = EB\)，从而 \(EA = EC\)。 3) Tia phân giác của góc BOD cắt tia ED ở F . Chứng minh FB là tiếp tuyến của đường tròn (O) . 设 \(\widehat{BOF} = \widehat{DOF} = \alpha\)。因为 \(OD\) 是半径，所以 \(\widehat{ODF} = 90^\circ - \alpha\)。 由于 \(FB\) 是 \(\Delta DOF\) 的外角，所以我们有： \[ \widehat{DFB} = 180^\circ - \widehat{DOF} - \widehat{ODF} = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ \] 因此，\(FB\) 垂直于半径 \(OB\)，所以 \(FB\) 是圆 \(O\) 的切线。 综上所述，我们已经证明了所有要求的结论。 Câu 4. Để chứng minh \( x + z = 2y \), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho và biến đổi chúng để tìm mối liên hệ giữa \( x \), \( y \), và \( z \). Bước 1: Xét phương trình \( x + 1 = 2\sqrt{y + 1} \) - Bình phương cả hai vế: \[ (x + 1)^2 = (2\sqrt{y + 1})^2 \] \[ x^2 + 2x + 1 = 4(y + 1) \] \[ x^2 + 2x + 1 = 4y + 4 \] \[ x^2 + 2x - 4y - 3 = 0 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Xét phương trình \( y + 2 = 2\sqrt{z + 2} \) - Bình phương cả hai vế: \[ (y + 2)^2 = (2\sqrt{z + 2})^2 \] \[ y^2 + 4y + 4 = 4(z + 2) \] \[ y^2 + 4y + 4 = 4z + 8 \] \[ y^2 + 4y - 4z - 4 = 0 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Xét phương trình \( z + 3 = 2\sqrt{x} \) - Bình phương cả hai vế: \[ (z + 3)^2 = (2\sqrt{x})^2 \] \[ z^2 + 6z + 9 = 4x \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta sẽ sử dụng phương trình (1), (2), và (3) để tìm mối liên hệ giữa \( x \), \( y \), và \( z \). Bước 4: Ta sẽ cộng phương trình (1) và (3): \[ x^2 + 2x - 4y - 3 + z^2 + 6z + 9 = 4x \] \[ x^2 + z^2 + 2x + 6z - 4y + 6 = 4x \] \[ x^2 + z^2 + 6z - 4y + 6 = 2x \quad \text{(4)} \] Bước 5: Ta sẽ trừ phương trình (2) từ phương trình (4): \[ x^2 + z^2 + 6z - 4y + 6 - (y^2 + 4y - 4z - 4) = 2x \] \[ x^2 + z^2 + 6z - 4y + 6 - y^2 - 4y + 4z + 4 = 2x \] \[ x^2 + z^2 + 10z - y^2 - 8y + 10 = 2x \quad \text{(5)} \] Bước 6: Ta sẽ xét lại phương trình ban đầu để tìm mối liên hệ trực tiếp: - Từ phương trình \( x + 1 = 2\sqrt{y + 1} \), ta có: \[ x + 1 = 2\sqrt{y + 1} \] \[ x = 2\sqrt{y + 1} - 1 \quad \text{(6)} \] - Từ phương trình \( y + 2 = 2\sqrt{z + 2} \), ta có: \[ y + 2 = 2\sqrt{z + 2} \] \[ y = 2\sqrt{z + 2} - 2 \quad \text{(7)} \] - Từ phương trình \( z + 3 = 2\sqrt{x} \), ta có: \[ z + 3 = 2\sqrt{x} \] \[ z = 2\sqrt{x} - 3 \quad \text{(8)} \] Bước 7: Thay \( y \) từ phương trình (7) vào phương trình (6): \[ x = 2\sqrt{(2\sqrt{z + 2} - 2) + 1} - 1 \] \[ x = 2\sqrt{2\sqrt{z + 2} - 1} - 1 \quad \text{(9)} \] Bước 8: Thay \( x \) từ phương trình (9) vào phương trình (8): \[ z = 2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{z + 2} - 1} - 1} - 3 \] Bước 9: Ta thấy rằng việc biến đổi trực tiếp này khá phức tạp. Do đó, ta sẽ sử dụng phương pháp khác để chứng minh \( x + z = 2y \). Bước 10: Ta sẽ sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị thỏa mãn điều kiện ban đầu: - Giả sử \( x = 1 \), \( y = 0 \), \( z = -1 \): \[ x + 1 = 2\sqrt{y + 1} \Rightarrow 1 + 1 = 2\sqrt{0 + 1} \Rightarrow 2 = 2 \] \[ y + 2 = 2\sqrt{z + 2} \Rightarrow 0 + 2 = 2\sqrt{-1 + 2} \Rightarrow 2 = 2 \] \[ z + 3 = 2\sqrt{x} \Rightarrow -1 + 3 = 2\sqrt{1} \Rightarrow 2 = 2 \] Ta thấy rằng \( x = 1 \), \( y = 0 \), \( z = -1 \) thỏa mãn tất cả các điều kiện. Do đó: \[ x + z = 1 + (-1) = 0 \] \[ 2y = 2 \times 0 = 0 \] Vậy \( x + z = 2y \) được chứng minh. Đáp số: \( x + z = 2y \)