Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một để xác định tính đúng sai của các phát biểu.
A. Nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$ thì $ABCD$ là hình thang.
- Ta có $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$.
- Điều này có nghĩa là trung điểm của các vectơ từ đỉnh $S$ đến các đỉnh của đáy $ABCD$ nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh $S$ và tâm $O$ của đáy $ABCD$.
- Tuy nhiên, điều kiện này không đủ để kết luận rằng $ABCD$ là hình thang. Do đó, phát biểu này là sai.
B. Nếu $ABCD$ là hình bình hành (hbh) thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$.
- Nếu $ABCD$ là hình bình hành, tâm của nó là trung điểm của cả hai đường chéo, tức là $O$.
- Ta có $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}$ vì mỗi vectơ từ đỉnh $S$ đến các đỉnh của đáy $ABCD$ sẽ có tổng là bốn lần vectơ từ đỉnh $S$ đến tâm $O$.
- Do đó, phát biểu này là đúng.
C. Nếu $ABCD$ là hình thang thì $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}$.
- Nếu $ABCD$ là hình thang, ta không thể chắc chắn rằng tổng các vectơ từ đỉnh $S$ đến các đỉnh của đáy $ABCD$ sẽ là $6\overrightarrow{SO}$.
- Do đó, phát biểu này là sai.
D. Nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SD}$ thì $ABCD$ là hình bình hành (hbh).
- Ta có $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SD}$.
- Điều này có nghĩa là trung điểm của các vectơ từ đỉnh $S$ đến các đỉnh của đáy $ABCD$ nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh $S$ và đỉnh $D$.
- Điều này chỉ đúng nếu $ABCD$ là hình bình hành, vì trong hình bình hành, tâm của nó là trung điểm của cả hai đường chéo.
- Do đó, phát biểu này là đúng.
Kết luận:
- Phát biểu đúng là: B và D.
Đáp án: B và D.
Câu 2:
Để chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng, ta cần tìm điều kiện sao cho các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ cùng phương.
Trước tiên, ta viết các vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{NB}$, $\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{PC}$, $\overrightarrow{PD}$ theo các vectơ cơ sở của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
Ta có:
\[
\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}
\]
\[
\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BM}
\]
Vì $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$, suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Tiếp theo, ta viết các vectơ $\overrightarrow{NB}$ và $\overrightarrow{NC}$:
\[
\overrightarrow{NB} = x \overrightarrow{NC}
\]
Tương tự, ta viết các vectơ $\overrightarrow{PC}$ và $\overrightarrow{PD}$:
\[
\overrightarrow{PC} = y \overrightarrow{PD}
\]
Bây giờ, ta cần tìm các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$:
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MB} + \frac{x}{x+1} \overrightarrow{BC}
\]
\[
\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{MC} + \frac{y}{y+1} \overrightarrow{CD}
\]
Vì M là trung điểm của AB, ta có:
\[
\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}
\]
\[
\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}
\]
Thay vào các biểu thức trên:
\[
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{x}{x+1} \overrightarrow{BC}
\]
\[
\overrightarrow{MP} = \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right) + \frac{y}{y+1} \overrightarrow{CD}
\]
Để M, N, P thẳng hàng, các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ phải cùng phương. Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực k sao cho:
\[
\overrightarrow{MP} = k \overrightarrow{MN}
\]
Thay các biểu thức của $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ vào:
\[
\left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \right) + \frac{y}{y+1} \overrightarrow{CD} = k \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{x}{x+1} \overrightarrow{BC} \right)
\]
So sánh các thành phần tương ứng của hai vế, ta có:
\[
\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \frac{y}{y+1} \overrightarrow{CD} = k \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{x}{x+1} \overrightarrow{BC} \right)
\]
Điều này dẫn đến:
\[
\frac{1}{2} = k \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
1 = k \cdot \frac{x}{x+1}
\]
\[
\frac{y}{y+1} = 0
\]
Từ đây, ta có:
\[
k = 1
\]
\[
1 = \frac{x}{x+1} \Rightarrow x + 1 = x \Rightarrow x = 1
\]
\[
\frac{y}{y+1} = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Vậy, để M, N, P thẳng hàng, ta cần:
\[
x = 1 \quad \text{và} \quad y = 0
\]
Đáp số: \( x = 1 \) và \( y = 0 \).