Giup minh vs a

Câu 1: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta có các thông tin sau: - Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0, -1)$, suy ra $d = -1$. - Đồ thị có hai điểm cực đại và cực tiểu, tương ứng với các giá trị $x = -1$ và $x = 3$. - Điểm cực đại có tọa độ $(3, 3)$, suy ra giá trị cực đại là $y_{CD} = 3$. - Điểm cực tiểu có tọa độ $(-1, 1)$, suy ra giá trị cực tiểu là $y_{CT} = 1$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: (a) Giá trị cực tiểu là $y = 1$. - Đúng, vì theo đồ thị, giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 1$ tại điểm $x = -1$. (b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3, -1)$. - Sai, vì khoảng $(3, -1)$ không tồn tại (khoảng này không hợp lý vì $3 > -1$). Tuy nhiên, nếu hiểu là khoảng từ $-1$ đến $3$, thì hàm số đồng biến trên khoảng này, không phải nghịch biến. (c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1, 3]$ là 3. - Đúng, vì trên đoạn $[-1, 3]$, giá trị lớn nhất của hàm số là $y = 3$ tại điểm $x = 3$. (d) $2y_{CD} - 3y_{CT} = 4$. - Ta tính: $2y_{CD} - 3y_{CT} = 2 \times 3 - 3 \times 1 = 6 - 3 = 3$. - Sai, vì $2y_{CD} - 3y_{CT} = 3$, không phải 4. Tóm lại, các mệnh đề đúng là: - (a) Đúng - (c) Đúng Đáp án: (a) và (c) Câu 2: Để giải quyết các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho. Mệnh đề (a): Tọa độ $A^\prime(3;5;-6)$ Ta biết rằng trong hình hộp, các đỉnh tương ứng của hai đáy là đồng dạng và song song với nhau. Do đó, tọa độ của $A'$ có thể được tìm bằng cách dịch chuyển tọa độ của $A$ theo vectơ $\overrightarrow{DD'}$. Tọa độ của $D$ là $(1; -1; 1)$ và tọa độ của $D'$ là $(3; 4; -6)$. Vectơ $\overrightarrow{DD'}$ là: \[ \overrightarrow{DD'} = (3-1, 4+1, -6-1) = (2, 5, -7) \] Do đó, tọa độ của $A'$ sẽ là: \[ A'(1 + 2, 0 + 5, 1 - 7) = (3, 5, -6) \] Vậy mệnh đề (a) đúng. Mệnh đề (b): Tọa độ $AD=3$ Độ dài đoạn thẳng $AD$ được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AD = \sqrt{(1-1)^2 + (-1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 0} = 1 \] Vậy mệnh đề (b) sai. Mệnh đề (c): $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=53,4^0$ Đầu tiên, ta tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Tọa độ của $C$ chưa được cho, nhưng ta có thể suy ra từ các đỉnh khác. Ta biết rằng $B(2;1;2)$ và $D(1;-1;1)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành, nên: \[ \overrightarrow{AB} = (2-1, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1) \] Giả sử tọa độ của $C$ là $(x, y, z)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \Rightarrow (x-1, y+1, z-1) = (1, 1, 1) \Rightarrow C(2, 0, 2) \] Do đó: \[ \overrightarrow{AC} = (2-1, 0-0, 2-1) = (1, 0, 1) \] Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ được tính bằng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 2 \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ \cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 35.26^\circ \] Vậy mệnh đề (c) sai. Mệnh đề (d): Toạ độ trọng tâm tam giác A'B'C là $G(3;4;-3)$ Trọng tâm của tam giác A'B'C được tính bằng trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: \[ G = \left( \frac{x_{A'} + x_{B'} + x_{C'}}{3}, \frac{y_{A'} + y_{B'} + y_{C'}}{3}, \frac{z_{A'} + z_{B'} + z_{C'}}{3} \right) \] Tọa độ của $B'$ là: \[ B' = B + \overrightarrow{DD'} = (2, 1, 2) + (2, 5, -7) = (4, 6, -5) \] Tọa độ của $C'$ là: \[ C' = C + \overrightarrow{DD'} = (2, 0, 2) + (2, 5, -7) = (4, 5, -5) \] Do đó: \[ G = \left( \frac{3 + 4 + 4}{3}, \frac{5 + 6 + 5}{3}, \frac{-6 - 5 - 5}{3} \right) = \left( \frac{11}{3}, \frac{16}{3}, -\frac{16}{3} \right) \] Vậy mệnh đề (d) sai. Kết luận: - Mệnh đề (a) đúng. - Mệnh đề (b) sai. - Mệnh đề (c) sai. - Mệnh đề (d) sai. Câu 3 Để tìm khối lượng sản phẩm x (tạ) sao cho lợi nhuận P(x) lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số P(x). \[ P'(x) = -3x^2 + 48x + 780 \] Bước 2: Giải phương trình P'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị. \[ -3x^2 + 48x + 780 = 0 \] \[ x^2 - 16x - 260 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 1040}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{1296}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm 36}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{16 + 36}{2} = 26 \] \[ x_2 = \frac{16 - 36}{2} = -10 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện x > 0 và x ≤ 40. \[ x_1 = 26 \] (thỏa mãn) \[ x_2 = -10 \] (không thỏa mãn) Bước 4: Xét dấu của đạo hàm P'(x) để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Với x < 26, P'(x) > 0 (hàm số tăng) - Với x > 26, P'(x) < 0 (hàm số giảm) Do đó, x = 26 là điểm cực đại. Bước 5: So sánh giá trị của P(x) tại các điểm cực đại và biên. \[ P(0) = -1000 \] \[ P(26) = -(26)^3 + 24(26)^2 + 780(26) - 1000 \] \[ P(26) = -17576 + 16224 + 20280 - 1000 \] \[ P(26) = 17928 \] \[ P(40) = -(40)^3 + 24(40)^2 + 780(40) - 1000 \] \[ P(40) = -64000 + 38400 + 31200 - 1000 \] \[ P(40) = 4600 \] So sánh các giá trị: \[ P(0) = -1000 \] \[ P(26) = 17928 \] \[ P(40) = 4600 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của P(x) là 17928, đạt được khi x = 26. Kết luận: Để có lợi nhuận lớn nhất, xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.