Giúp mk nha

Câu 1: Để kiểm tra xem công thức nguyên hàm nào chưa đúng, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng đáp án: A. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$. Đúng vì nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln |x| + C$. B. $\int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ ($a \neq -1$). Đúng vì nguyên hàm của $x^a$ là $\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ khi $a \neq -1$. C. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ ($0 < a \neq 1$). Đúng vì nguyên hàm của $a^x$ là $\frac{a^x}{\ln a} + C$ khi $0 < a \neq 1$. D. $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$. Đúng vì $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, và nguyên hàm của $\sec^2 x$ là $\tan x + C$. Như vậy, tất cả các công thức đều đúng. Tuy nhiên, trong câu hỏi, chúng ta cần tìm ra công thức chưa đúng. Do đó, câu hỏi này có thể đã có lỗi hoặc thiếu thông tin. Đáp án: Không có công thức nào chưa đúng. Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + \frac{3}{x^2} \) (với \( x \neq 0 \)), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách hàm số thành hai phần để dễ dàng tính nguyên hàm: \[ f(x) = 2x + \frac{3}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] - Nguyên hàm của \( \frac{3}{x^2} \): \[ \int \frac{3}{x^2} \, dx = 3 \int x^{-2} \, dx = 3 \cdot \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) = -\frac{3}{x} \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm nguyên hàm tổng của hàm số: \[ \int f(x) \, dx = x^2 - \frac{3}{x} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + \frac{3}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = x^2 - \frac{3}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = x^2 - \frac{3}{x} + C \) Câu 3: Để xác định hàm số \( f(x) \) mà \( F(x) = e^x + \tan x + C \) là nguyên hàm của, ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của mỗi thành phần trong \( F(x) \): - Đạo hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Đạo hàm của \( \tan x \) là \( \frac{1}{\cos^2 x} \). - Đạo hàm của hằng số \( C \) là 0. Bước 2: Kết hợp các đạo hàm trên: \[ F'(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} + 0 = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \] Do đó, hàm số \( f(x) \) mà \( F(x) \) là nguyên hàm của là: \[ f(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( f(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \). Câu 4. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 2^x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 2x \). \[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 2^x \). \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int (2x + 2^x) \, dx = x^2 + \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, đáp án đúng là: D. \( x^2 + \frac{2^x}{\ln 2} + C \) Đáp án: D. \( x^2 + \frac{2^x}{\ln 2} + C \) Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hiểu về tính chất của tích phân và cách biến đổi hàm số trong tích phân. Bước 1: Xác định biểu thức ban đầu Biết rằng: \[ \int f(x) \, dx = 2x \ln(3x - 1) + C \] Bước 2: Biến đổi hàm số trong tích phân Chúng ta cần tìm \(\int f(3x) \, dx\). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Gọi \( u = 3x \), do đó \( du = 3 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{3} \). Bước 3: Thay đổi biến số trong tích phân \[ \int f(3x) \, dx = \int f(u) \cdot \frac{du}{3} \] \[ = \frac{1}{3} \int f(u) \, du \] Bước 4: Áp dụng biểu thức tích phân đã biết Biết rằng: \[ \int f(u) \, du = 2u \ln(3u - 1) + C \] Do đó: \[ \frac{1}{3} \int f(u) \, du = \frac{1}{3} \left( 2u \ln(3u - 1) + C \right) \] \[ = \frac{2u}{3} \ln(3u - 1) + \frac{C}{3} \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu Thay \( u = 3x \): \[ \frac{2u}{3} \ln(3u - 1) + \frac{C}{3} = \frac{2(3x)}{3} \ln(3(3x) - 1) + \frac{C}{3} \] \[ = 2x \ln(9x - 1) + \frac{C}{3} \] Như vậy, khẳng định đúng là: D. \(\int f(3x) \, dx = 2x \ln(9x - 1) + C\) Đáp án: D. Câu 6: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = e^x - x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \). Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Nguyên hàm của \( -x \) là \( -\frac{x^2}{2} \). Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = e^x - \frac{x^2}{2} + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(0) = 2 \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = e^0 - \frac{0^2}{2} + C = 1 + C \] Theo điều kiện \( F(0) = 2 \), ta có: \[ 1 + C = 2 \] \[ C = 1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm cụ thể. Thay \( C = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(x) = e^x - \frac{x^2}{2} + 1 \] Vậy, đáp án đúng là: B. \( F(x) = e^x - \frac{x^2}{2} + 1 \). Câu 7: Để tính $F(x) = \int x \cos x \, dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp này dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Bước 1: Chọn \(u\) và \(dv\): - \(u = x\) - \(dv = \cos x \, dx\) Bước 2: Tính \(du\) và \(v\): - \(du = dx\) - \(v = \int \cos x \, dx = \sin x\) Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ F(x) = \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \] Bước 4: Tính tích phân còn lại: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] Bước 5: Kết hợp lại: \[ F(x) = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = x \sin x + \cos x + C \) Câu 8. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{-x} + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( e^{-x} \). Ta biết rằng: \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 1 \). Ta biết rằng: \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int (e^{-x} + 1) \, dx = \int e^{-x} \, dx + \int 1 \, dx = -e^{-x} + C_1 + x + C_2 \] Bước 4: Gộp các hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \). \[ \int (e^{-x} + 1) \, dx = -e^{-x} + x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{-x} + 1 \) là: \[ -e^{-x} + x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( -e^{-x} + x + C \). Câu 9: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{2x + 3}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách phân thức thành tổng của hai phân thức đơn giản hơn: \[ f(x) = \frac{2x + 3}{x^2} = \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ: \[ \int \left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{3}{x^2} dx \] Bước 3: Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln |x| \] \[ \int \frac{3}{x^2} dx = 3 \int x^{-2} dx = 3 \left( -\frac{1}{x} \right) = -\frac{3}{x} \] Bước 4: Kết hợp lại để tìm nguyên hàm tổng: \[ F(x) = 2 \ln |x| - \frac{3}{x} + C \] Bước 5: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(1) = 1 \): \[ F(1) = 2 \ln |1| - \frac{3}{1} + C = 1 \] \[ 2 \cdot 0 - 3 + C = 1 \] \[ -3 + C = 1 \] \[ C = 4 \] Bước 6: Viết biểu thức cuối cùng của \( F(x) \): \[ F(x) = 2 \ln |x| - \frac{3}{x} + 4 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = 2 \ln |x| - \frac{3}{x} + 4 \) Câu 10: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( e^x \). \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( x \). \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Bước 3: Cộng lại các kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int (e^x + x) \, dx = \int e^x \, dx + \int x \, dx = e^x + \frac{x^2}{2} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + x \) là: \[ \boxed{e^x + \frac{x^2}{2} + C} \]