Nsnsnjsjsns $I_1=\int^3_0|x-2|dx$

Question

Accepted Answer

Để tính tích phân $ I_1 = \int_{0}^{3} |x - 2| \, dx $, ta cần xét dấu của biểu thức $ |x - 2| $ trên khoảng từ 0 đến 3.

Trên đoạn [0, 2], ta có $ x - 2 \leq 0 $, do đó $ |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x $.

Trên đoạn [2, 3], ta có $ x - 2 \geq 0 $, do đó $ |x - 2| = x - 2 $.

Do đó, ta chia tích phân thành hai phần:

$$ I_1 = \int_{0}^{2} (2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx $$

Bây giờ, ta tính từng phần tích phân này.

1. Tính $\int_{0}^{2} (2 - x) \, dx$:

$$ \int_{0}^{2} (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} $$
$$ = \left( 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} \right) $$
$$ = (4 - 2) - 0 $$
$$ = 2 $$

2. Tính $\int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$:

$$ \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3} $$
$$ = \left( \frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2 \right) $$
$$ = \left( \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( 2 - 4 \right) $$
$$ = \left( \frac{9}{2} - \frac{12}{2} \right) - (-2) $$
$$ = \left( -\frac{3}{2} \right) + 2 $$
$$ = -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} $$
$$ = \frac{1}{2} $$

Cuối cùng, cộng hai kết quả lại:

$$ I_1 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$

Vậy, tích phân $ I_1 = \int_{0}^{3} |x - 2| \, dx = \frac{5}{2} $.