Giải chi tiết ạ

Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định điểm cực trị. 2. Xác định điều kiện để hàm số đạt cực trị. 3. Áp dụng điều kiện đã cho để tìm giá trị của \( m \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = x^3 - 3x^2 + mx - 1 \] \[ y' = 3x^2 - 6x + m \] Để hàm số đạt cực trị tại \( x_1 \) và \( x_2 \), đạo hàm \( y' \) phải bằng 0 tại hai điểm này: \[ 3x^2 - 6x + m = 0 \] Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số đạt cực trị: Phương trình \( 3x^2 - 6x + m = 0 \) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là: \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m > 0 \] \[ 36 - 12m > 0 \] \[ 12m < 36 \] \[ m < 3 \] Bước 3: Áp dụng điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 = 3 \): Theo định lý Vi-et, tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2 \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{3} \] Ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ 3 = 2^2 - 2 \cdot \frac{m}{3} \] \[ 3 = 4 - \frac{2m}{3} \] \[ \frac{2m}{3} = 1 \] \[ 2m = 3 \] \[ m = \frac{3}{2} \] Do đó, giá trị của \( m \) là \( \frac{3}{2} \), nằm trong khoảng \( (1; 2) \). Đáp án đúng là: C. \( m \in (1; 2) \). Câu 10: Để tìm liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( G(x) = 0,035x^2(15 - x) \). Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số: \[ 0 < x < 15 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số \( G(x) \): \[ G'(x) = \frac{d}{dx} [0,035x^2(15 - x)] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ G'(x) = 0,035 \left[ 2x(15 - x) + x^2(-1) \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \left[ 30x - 2x^2 - x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \left[ 30x - 3x^2 \right] \] \[ G'(x) = 0,035 \cdot 3x(10 - x) \] \[ G'(x) = 0,105x(10 - x) \] Bước 3: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 0,105x(10 - x) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 10 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện \( 0 < x < 15 \): - \( x = 0 \) không thuộc miền xác định. - \( x = 10 \) thuộc miền xác định. Bước 5: Xác định giá trị cực đại của hàm số tại \( x = 10 \): \[ G(10) = 0,035 \cdot 10^2 \cdot (15 - 10) \] \[ G(10) = 0,035 \cdot 100 \cdot 5 \] \[ G(10) = 0,035 \cdot 500 \] \[ G(10) = 17,5 \] Vậy liều lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất là \( x = 10 \) miligam. Đáp án đúng là: B. \( x = 10 \). Câu 11: Để lập luận từng bước về đồ thị của hàm số \( y = x^2 + 4x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của hàm số: Hàm số \( y = x^2 + 4x + 1 \) là một hàm bậc hai, có dạng tổng quát là \( y = ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = 1 \), \( b = 4 \), và \( c = 1 \). 2. Tìm đỉnh của parabol: Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có tọa độ \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). - Tính hoành độ đỉnh: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \] - Tính tung độ đỉnh bằng cách thay \( x = -2 \) vào hàm số: \[ y = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \] Vậy đỉnh của parabol là \( (-2, -3) \). 3. Xác định hướng mở của parabol: Vì hệ số \( a = 1 > 0 \), nên parabol mở ra phía trên. 4. Tìm giao điểm với trục \( Oy \): Giao điểm với trục \( Oy \) là điểm có hoành độ \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 1 = 1 \] Vậy giao điểm với trục \( Oy \) là \( (0, 1) \). 5. Tìm giao điểm với trục \( Ox \): Giao điểm với trục \( Ox \) là các điểm có tung độ \( y = 0 \). Ta giải phương trình: \[ x^2 + 4x + 1 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \] Vậy giao điểm với trục \( Ox \) là \( (-2 + \sqrt{3}, 0) \) và \( (-2 - \sqrt{3}, 0) \). 6. Tóm tắt các tính chất của đồ thị: - Đỉnh của parabol: \( (-2, -3) \) - Parabol mở ra phía trên. - Giao điểm với trục \( Oy \): \( (0, 1) \) - Giao điểm với trục \( Ox \): \( (-2 + \sqrt{3}, 0) \) và \( (-2 - \sqrt{3}, 0) \) Vậy đồ thị của hàm số \( y = x^2 + 4x + 1 \) là một parabol mở ra phía trên, có đỉnh tại \( (-2, -3) \), giao điểm với trục \( Oy \) là \( (0, 1) \), và giao điểm với trục \( Ox \) là \( (-2 + \sqrt{3}, 0) \) và \( (-2 - \sqrt{3}, 0) \).