Giúp mình với!

Câu 11: Để tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + 4x - 2}{x + 3} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \(-x^2 + 4x - 2\) cho \(x + 3\). \[ \begin{array}{r|rr} & -x & +7 \\ \hline x + 3 & -x^2 & +4x & -2 \\ & -x^2 & -3x & \\ \hline & & 7x & -2 \\ & & 7x & +21 \\ \hline & & & -23 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{-x^2 + 4x - 2}{x + 3} = -x + 7 - \frac{23}{x + 3} \] 2. Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần \(\frac{23}{x + 3}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = -x + 7 \] Vậy phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + 4x - 2}{x + 3} \) là \( y = -x + 7 \). Đáp án đúng là: D. \( y = -x + 7 \). Câu 12: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\), chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Bước 1: Xác định các giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn và các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là \( f(-1) \). - Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số là \( f(0) \). - Tại \( x = 2 \), giá trị của hàm số là \( f(2) \). - Tại \( x = 3 \), giá trị của hàm số là \( f(3) \). Bước 2: So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 2 \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\) là \( f(2) \). Vậy mệnh đề đúng là: B. \( M = f(2) \). Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của đồ thị hàm số bậc ba và các thông tin được cung cấp trong đề bài. 1. Xác định dấu của \(a\): - Đồ thị hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) có dạng cong lên hoặc cong xuống tùy thuộc vào dấu của hệ số \(a\). Nếu \(a > 0\), đồ thị sẽ cong lên ở hai đầu (tức là khi \(x \to -\infty\) thì \(y \to -\infty\) và khi \(x \to +\infty\) thì \(y \to +\infty\)). Ngược lại, nếu \(a < 0\), đồ thị sẽ cong xuống ở hai đầu (tức là khi \(x \to -\infty\) thì \(y \to +\infty\) và khi \(x \to +\infty\) thì \(y \to -\infty\)). - Từ đồ thị, ta thấy rằng khi \(x \to -\infty\) thì \(y \to -\infty\) và khi \(x \to +\infty\) thì \(y \to +\infty\). Điều này cho thấy \(a > 0\). 2. Xác định dấu của \(d\): - Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là điểm có tọa độ \((0, d)\). Từ đồ thị, ta thấy rằng giao điểm này nằm phía trên trục \(Ox\), tức là \(d > 0\). 3. Xác định dấu của \(c\): - Ta biết rằng đạo hàm của hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) là \(y' = 3ax^2 + 2bx + c\). Đạo hàm này biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số. - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, tức là hai điểm mà tại đó đạo hàm bằng không (\(y' = 0\)). Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại một điểm và cực tiểu tại một điểm khác. Điều này cho thấy rằng \(y'\) có hai nghiệm thực phân biệt, do đó phương trình \(3ax^2 + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt. - Để phương trình \(3ax^2 + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt, дискриминант \(D = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c > 0\). Điều này cho thấy rằng \(c\) có thể dương hoặc âm, nhưng từ đồ thị ta thấy rằng hàm số đạt cực đại và cực tiểu, do đó \(c\) phải bằng 0 để đảm bảo rằng đạo hàm có hai nghiệm thực phân biệt. 4. Xác định dấu của \(b\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt cực đại và cực tiểu, do đó \(b\) phải dương để đảm bảo rằng đạo hàm có hai nghiệm thực phân biệt. Từ các phân tích trên, ta có: - \(a > 0\) - \(b > 0\) - \(c = 0\) - \(d > 0\) Do đó, khẳng định đúng là: D. \(a > 0; b > 0; c = 0; d > 0\). Đáp án: D. Câu 14: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1; 1; -2)$. Tọa độ của điểm B là $(3; -1; 2)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, -1 - 1, 2 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (2, -2, 4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(2, -2, 4)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(2, -2, 4)$. Câu 15: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$, ta cần dựa vào đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$. Bước 1: Xác định các điểm mà $f'(x) = 0$ trên đồ thị của $y = f'(x)$. - Từ đồ thị, ta thấy $f'(x) = 0$ tại ba điểm: $x = -2$, $x = 0$, và $x = 2$. Bước 2: Kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở các khoảng giữa các điểm $f'(x) = 0$ để xác định tính chất cực trị của hàm số $y = f(x)$. - Khi $x < -2$: $f'(x) > 0$ (hàm số tăng) - Khi $-2 < x < 0$: $f'(x) < 0$ (hàm số giảm) - Khi $0 < x < 2$: $f'(x) > 0$ (hàm số tăng) - Khi $x > 2$: $f'(x) < 0$ (hàm số giảm) Bước 3: Xác định các điểm cực trị dựa trên sự thay đổi dấu của $f'(x)$. - Tại $x = -2$: $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm, do đó $f(x)$ đạt cực đại tại $x = -2$. - Tại $x = 0$: $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương, do đó $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$. - Tại $x = 2$: $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm, do đó $f(x)$ đạt cực đại tại $x = 2$. Kết luận: Hàm số $y = f(x)$ có 3 điểm cực trị, bao gồm 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Đáp số: 3 điểm cực trị.