Hchdjdbdxkzbxk Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{mx-2m-3}{x-m}$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m,để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .,Câu 9. Cho hàm số $y=\frac{-x^2+2mx-5}{x-1}.$ Tìm tham số m để hàm số có hai điểm cực trị.,Câu 10. Tìm các giá trị của m để hàm số $y=\frac{x^2-(m+1)x-m^2+4m-2}{x-1}$ có cực đại và cực tiểu.

Question

Accepted Answer

Câu 8. Để hàm số $y = \frac{mx - 2m - 3}{x - m}$ đồng biến trên các khoảng xác định, ta cần tìm điều kiện của m sao cho đạo hàm của hàm số dương trên các khoảng xác định. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left( \frac{mx - 2m - 3}{x - m} \right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(mx - 2m - 3)'(x - m) - (mx - 2m - 3)(x - m)'}{(x - m)^2} $$ $$ y' = \frac{m(x - m) - (mx - 2m - 3)}{(x - m)^2} $$ $$ y' = \frac{mx - m^2 - mx + 2m + 3}{(x - m)^2} $$ $$ y' = \frac{-m^2 + 2m + 3}{(x - m)^2} $$ Bước 2: Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, ta cần: $$ y' > 0 $$ $$ \frac{-m^2 + 2m + 3}{(x - m)^2} > 0 $$ Vì $(x - m)^2$ luôn dương (trừ khi $x = m$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định), nên ta chỉ cần: $$ -m^2 + 2m + 3 > 0 $$ Bước 3: Giải bất phương trình: $$ -m^2 + 2m + 3 > 0 $$ Đây là một bất phương trình bậc hai. Ta giải phương trình tương ứng: $$ -m^2 + 2m + 3 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} $$ $$ m = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} $$ $$ m = \frac{-2 \pm 4}{-2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ m_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1 $$ $$ m_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 $$ Bước 4: Xác định khoảng giá trị của m: Bất phương trình $-m^2 + 2m + 3 > 0$ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm: $$ -1 < m < 3 $$ Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của m trong khoảng này: Các giá trị nguyên của m là: $m = 0, 1, 2$ Vậy tập hợp S gồm các giá trị nguyên của m là: $$ S = \{0, 1, 2\} $$ Số phần tử của S là: $$ |S| = 3 $$ Đáp số: Số phần tử của S là 3. Câu 9. Để hàm số $y=\frac{-x^2+2mx-5}{x-1}$ có hai điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số có nghĩa khi $x \neq 1$. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: $$ y' = \left(\frac{-x^2 + 2mx - 5}{x-1}\right)' $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $$ y' = \frac{(-2x + 2m)(x-1) - (-x^2 + 2mx - 5)}{(x-1)^2} $$ Rút gọn: $$ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2mx - 2m + x^2 - 2mx + 5}{(x-1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 5 - 2m}{(x-1)^2} $$ 3. Tìm điểm cực trị: Để hàm số có hai điểm cực trị, đạo hàm $y'$ phải có hai nghiệm phân biệt. Do đó, ta cần tìm điều kiện để phương trình: $$ -x^2 + 2x + 5 - 2m = 0 $$ có hai nghiệm phân biệt. 4. Xét phương trình bậc hai: Phương trình $-x^2 + 2x + 5 - 2m = 0$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = -1$, $b = 2$, $c = 5 - 2m$. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $$ \Delta > 0 $$ Tính $\Delta$: $$ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(5 - 2m) = 4 + 4(5 - 2m) = 4 + 20 - 8m = 24 - 8m $$ Để có hai nghiệm phân biệt: $$ 24 - 8m > 0 \implies 24 > 8m \implies m < 3 $$ 5. Kết luận: Tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị là: $$ m < 3 $$ Đáp số: $m < 3$. Câu 10. Để hàm số $y=\frac{x^2-(m+1)x-m^2+4m-2}{x-1}$ có cực đại và cực tiểu, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. $$ y' = \frac{(2x - (m + 1))(x - 1) - (x^2 - (m + 1)x - m^2 + 4m - 2)}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 - 2x - (m + 1)x + (m + 1) - x^2 + (m + 1)x + m^2 - 4m + 2}{(x - 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 - 2x + m^2 - 3m + 3}{(x - 1)^2} $$ Bước 2: Xét dấu của đạo hàm để tìm điểm cực đại và cực tiểu. Để hàm số có cực đại và cực tiểu, đạo hàm $ y' $ phải đổi dấu tại hai điểm khác nhau. Điều này xảy ra khi phương trình $ y' = 0 $ có hai nghiệm phân biệt. Phương trình $ y' = 0 $: $$ x^2 - 2x + m^2 - 3m + 3 = 0 $$ Bước 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Phương trình $ x^2 - 2x + m^2 - 3m + 3 = 0 $ có hai nghiệm phân biệt khi: $$ \Delta > 0 $$ $$ (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 3m + 3) > 0 $$ $$ 4 - 4(m^2 - 3m + 3) > 0 $$ $$ 4 - 4m^2 + 12m - 12 > 0 $$ $$ -4m^2 + 12m - 8 > 0 $$ $$ m^2 - 3m + 2 < 0 $$ Bước 4: Giải bất phương trình $ m^2 - 3m + 2 < 0 $. $$ m^2 - 3m + 2 = 0 $$ $$ (m - 1)(m - 2) = 0 $$ $$ m = 1 \text{ hoặc } m = 2 $$ Bất phương trình $ m^2 - 3m + 2 < 0 $ đúng trong khoảng: $$ 1 < m < 2 $$ Vậy, các giá trị của $ m $ để hàm số $ y=\frac{x^2-(m+1)x-m^2+4m-2}{x-1} $ có cực đại và cực tiểu là: $$ 1 < m < 2 $$