Hchdjdbdxkzbxk

Câu 8. Để hàm số $y = \frac{mx - 2m - 3}{x - m}$ đồng biến trên các khoảng xác định, ta cần tìm điều kiện của m sao cho đạo hàm của hàm số dương trên các khoảng xác định. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{mx - 2m - 3}{x - m} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(mx - 2m - 3)'(x - m) - (mx - 2m - 3)(x - m)'}{(x - m)^2} \] \[ y' = \frac{m(x - m) - (mx - 2m - 3)}{(x - m)^2} \] \[ y' = \frac{mx - m^2 - mx + 2m + 3}{(x - m)^2} \] \[ y' = \frac{-m^2 + 2m + 3}{(x - m)^2} \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, ta cần: \[ y' > 0 \] \[ \frac{-m^2 + 2m + 3}{(x - m)^2} > 0 \] Vì $(x - m)^2$ luôn dương (trừ khi $x = m$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định), nên ta chỉ cần: \[ -m^2 + 2m + 3 > 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình: \[ -m^2 + 2m + 3 > 0 \] Đây là một bất phương trình bậc hai. Ta giải phương trình tương ứng: \[ -m^2 + 2m + 3 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} \] \[ m = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} \] \[ m = \frac{-2 \pm 4}{-2} \] Ta có hai nghiệm: \[ m_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1 \] \[ m_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 \] Bước 4: Xác định khoảng giá trị của m: Bất phương trình $-m^2 + 2m + 3 > 0$ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ -1 < m < 3 \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của m trong khoảng này: Các giá trị nguyên của m là: $m = 0, 1, 2$ Vậy tập hợp S gồm các giá trị nguyên của m là: \[ S = \{0, 1, 2\} \] Số phần tử của S là: \[ |S| = 3 \] Đáp số: Số phần tử của S là 3. Câu 9. Để hàm số $y=\frac{-x^2+2mx-5}{x-1}$ có hai điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số có nghĩa khi $x \neq 1$. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y' = \left(\frac{-x^2 + 2mx - 5}{x-1}\right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2m)(x-1) - (-x^2 + 2mx - 5)}{(x-1)^2} \] Rút gọn: \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2mx - 2m + x^2 - 2mx + 5}{(x-1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 5 - 2m}{(x-1)^2} \] 3. Tìm điểm cực trị: Để hàm số có hai điểm cực trị, đạo hàm $y'$ phải có hai nghiệm phân biệt. Do đó, ta cần tìm điều kiện để phương trình: \[ -x^2 + 2x + 5 - 2m = 0 \] có hai nghiệm phân biệt. 4. Xét phương trình bậc hai: Phương trình $-x^2 + 2x + 5 - 2m = 0$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = -1$, $b = 2$, $c = 5 - 2m$. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ \Delta > 0 \] Tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(5 - 2m) = 4 + 4(5 - 2m) = 4 + 20 - 8m = 24 - 8m \] Để có hai nghiệm phân biệt: \[ 24 - 8m > 0 \implies 24 > 8m \implies m < 3 \] 5. Kết luận: Tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị là: \[ m < 3 \] Đáp số: $m < 3$. Câu 10. Để hàm số $y=\frac{x^2-(m+1)x-m^2+4m-2}{x-1}$ có cực đại và cực tiểu, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{(2x - (m + 1))(x - 1) - (x^2 - (m + 1)x - m^2 + 4m - 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - (m + 1)x + (m + 1) - x^2 + (m + 1)x + m^2 - 4m + 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x + m^2 - 3m + 3}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm để tìm điểm cực đại và cực tiểu. Để hàm số có cực đại và cực tiểu, đạo hàm \( y' \) phải đổi dấu tại hai điểm khác nhau. Điều này xảy ra khi phương trình \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 - 2x + m^2 - 3m + 3 = 0 \] Bước 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Phương trình \( x^2 - 2x + m^2 - 3m + 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta > 0 \] \[ (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 3m + 3) > 0 \] \[ 4 - 4(m^2 - 3m + 3) > 0 \] \[ 4 - 4m^2 + 12m - 12 > 0 \] \[ -4m^2 + 12m - 8 > 0 \] \[ m^2 - 3m + 2 < 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình \( m^2 - 3m + 2 < 0 \). \[ m^2 - 3m + 2 = 0 \] \[ (m - 1)(m - 2) = 0 \] \[ m = 1 \text{ hoặc } m = 2 \] Bất phương trình \( m^2 - 3m + 2 < 0 \) đúng trong khoảng: \[ 1 < m < 2 \] Vậy, các giá trị của \( m \) để hàm số \( y=\frac{x^2-(m+1)x-m^2+4m-2}{x-1} \) có cực đại và cực tiểu là: \[ 1 < m < 2 \]