Nhanhhhhhhhhhhhhh PHẦN III. Câu trác nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Một phần đường ray của tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba,$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a
e0).$ Trục Ox mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều,ngang. Trục Oy mô tả chiều cao của đường ray tại mỗi vị trí x . Từ chiều cao xuất phát 60 cm,. Tàu lượn xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí $x=10~cm.$ tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí,$x=20~cm$ và sau đó tàu xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở vị trí $x=70~cm.$ Xét $x\in[0;70],$,Tính giá trị của $S=70a-7b+7c+d.$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân),Câu 2: Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành,một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là,$10(6n+10)$ nghìn đồng. Hỏi nếu in 50.000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để,được lãi nhiều nhất?,Câu 3: Một vật chuyển động theo quy luật $v(t)=\frac{t+1}{t^2-t+1}+\ln(t^2-t+1).$ với t (giây) là khoảng thời,gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và v(t) (m / s) là vật tốc của vật tại thời điểm r. Hỏi,trong khoảng thời gian 1,6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt tại,thời điểm $t_1,$ vận tốc nhỏ nhất của vật đạt tại thời điểm $t_2.$ Tìm giá trị $t_2-t_1.$ (viết kết quả,dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần nghìn)

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng thông tin về các điểm mà tàu lượn siêu tốc đi qua để xác định các hệ số của hàm số bậc ba $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $.

1. Xác định các điều kiện:
   - Tàu xuất phát từ chiều cao 60 cm, tức là $ f(0) = 60 $.
   - Tàu xuống dưới mặt đất lần đầu tiên ở $ x = 10 $ cm, tức là $ f(10) = 0 $.
   - Tàu lên khỏi mặt đất ở $ x = 20 $ cm, tức là $ f(20) = 0 $.
   - Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở $ x = 70 $ cm, tức là $ f(70) = 0 $.

2. Lập phương trình từ các điều kiện trên:
   - $ f(0) = d = 60 $
   - $ f(10) = a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) + d = 0 $
     $$
     1000a + 100b + 10c + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 1000a + 100b + 10c = -60 \quad \text{(1)}
     $$
   - $ f(20) = a(20)^3 + b(20)^2 + c(20) + d = 0 $
     $$
     8000a + 400b + 20c + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 8000a + 400b + 20c = -60 \quad \text{(2)}
     $$
   - $ f(70) = a(70)^3 + b(70)^2 + c(70) + d = 0 $
     $$
     343000a + 4900b + 70c + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 343000a + 4900b + 70c = -60 \quad \text{(3)}
     $$

3. Giải hệ phương trình:
   Chúng ta có ba phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   1000a + 100b + 10c = -60 \
   8000a + 400b + 20c = -60 \
   343000a + 4900b + 70c = -60
   \end{cases}
   $$

Chia cả ba phương trình cho 10 để đơn giản hóa:
   $$
   \begin{cases}
   100a + 10b + c = -6 \
   800a + 40b + 2c = -6 \
   34300a + 490b + 7c = -6
   \end{cases}
   $$

Tiếp tục chia phương trình thứ hai cho 2:
   $$
   \begin{cases}
   100a + 10b + c = -6 \
   400a + 20b + c = -3 \
   34300a + 490b + 7c = -6
   \end{cases}
   $$

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:
   $$
   (400a + 20b + c) - (100a + 10b + c) = -3 - (-6) \quad \Rightarrow \quad 300a + 10b = 3 \quad \Rightarrow \quad 30a + b = 0.3 \quad \text{(4)}
   $$

Lấy phương trình thứ ba trừ phương trình thứ hai nhân 7:
   $$
   (34300a + 490b + 7c) - 7(400a + 20b + c) = -6 - 7(-3) \quad \Rightarrow \quad 34300a + 490b + 7c - 2800a - 140b - 7c = -6 + 21 \quad \Rightarrow \quad 31500a + 350b = 15 \quad \Rightarrow \quad 900a + 10b = 0.42 \quad \text{(5)}
   $$

Giải hệ phương trình (4) và (5):
   $$
   \begin{cases}
   30a + b = 0.3 \
   900a + 10b = 0.42
   \end{cases}
   $$

Nhân phương trình thứ nhất với 10:
   $$
   \begin{cases}
   300a + 10b = 3 \
   900a + 10b = 0.42
   \end{cases}
   $$

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:
   $$
   (900a + 10b) - (300a + 10b) = 0.42 - 3 \quad \Rightarrow \quad 600a = -2.58 \quad \Rightarrow \quad a = -0.0043
   $$

Thay $ a = -0.0043 $ vào phương trình $ 30a + b = 0.3 $:
   $$
   30(-0.0043) + b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad -0.129 + b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad b = 0.429
   $$

Thay $ a = -0.0043 $ và $ b = 0.429 $ vào phương trình $ 100a + 10b + c = -6 $:
   $$
   100(-0.0043) + 10(0.429) + c = -6 \quad \Rightarrow \quad -0.43 + 4.29 + c = -6 \quad \Rightarrow \quad c = -9.86
   $$

4. Tính giá trị của $ S = 70a - 7b + 7c + d $:
   $$
   S = 70(-0.0043) - 7(0.429) + 7(-9.86) + 60
   $$
   $$
   S = -0.301 - 3.003 - 69.02 + 60
   $$
   $$
   S = -12.324
   $$

Vậy giá trị của $ S $ là $-12.324$.

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính thời gian cần thiết để in 50.000 tờ quảng cáo với n máy.
2. Xác định chi phí vận hành và chi phí chạy máy trong thời gian đó.
3. Xây dựng hàm lợi nhuận và tìm giá trị cực đại của nó.

Bước 1: Tính thời gian cần thiết để in 50.000 tờ quảng cáo với n máy.

Số bản in của một máy trong một giờ là 3600 bản. Vậy số bản in của n máy trong một giờ là:
$$ 3600n \text{ bản} $$

Thời gian cần thiết để in 50.000 bản quảng cáo với n máy là:
$$ t = \frac{50000}{3600n} = \frac{125}{9n} \text{ giờ} $$

Bước 2: Xác định chi phí vận hành và chi phí chạy máy trong thời gian đó.

Chi phí vận hành n máy là:
$$ 50000n \text{ đồng} $$

Chi phí chạy n máy trong t giờ là:
$$ 10000(6n + 10)t = 10000(6n + 10) \cdot \frac{125}{9n} = \frac{1250000(6n + 10)}{9n} \text{ đồng} $$

Tổng chi phí là:
$$ C(n) = 50000n + \frac{1250000(6n + 10)}{9n} $$

Bước 3: Xây dựng hàm lợi nhuận và tìm giá trị cực đại của nó.

Giả sử giá bán mỗi bản quảng cáo là 100 đồng, doanh thu từ việc in 50.000 bản quảng cáo là:
$$ R = 50000 \times 100 = 5000000 \text{ đồng} $$

Lợi nhuận là:
$$ P(n) = R - C(n) = 5000000 - \left( 50000n + \frac{1250000(6n + 10)}{9n} \right) $$

Để tìm giá trị cực đại của hàm lợi nhuận, chúng ta tính đạo hàm của P(n) và tìm điểm cực đại.

$$ P'(n) = -50000 - \frac{1250000 \cdot 6n - 1250000 \cdot 10}{9n^2} = -50000 - \frac{7500000n - 12500000}{9n^2} $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại:
$$ -50000 - \frac{7500000n - 12500000}{9n^2} = 0 $$
$$ -50000 = \frac{7500000n - 12500000}{9n^2} $$
$$ -450000n^2 = 7500000n - 12500000 $$
$$ 450000n^2 + 7500000n - 12500000 = 0 $$
$$ 9n^2 + 150n - 250 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ n = \frac{-150 \pm \sqrt{150^2 + 4 \cdot 9 \cdot 250}}{2 \cdot 9} = \frac{-150 \pm \sqrt{22500 + 9000}}{18} = \frac{-150 \pm \sqrt{31500}}{18} $$
$$ n = \frac{-150 \pm 177.48}{18} $$

Chọn nghiệm dương:
$$ n = \frac{27.48}{18} \approx 1.53 $$

Vì số máy phải là số nguyên, chúng ta kiểm tra n = 1 và n = 2.

- Với n = 1:
$$ C(1) = 50000 \cdot 1 + \frac{1250000(6 \cdot 1 + 10)}{9 \cdot 1} = 50000 + \frac{1250000 \cdot 16}{9} = 50000 + 2222222.22 = 2272222.22 \text{ đồng} $$
$$ P(1) = 5000000 - 2272222.22 = 2727777.78 \text{ đồng} $$

- Với n = 2:
$$ C(2) = 50000 \cdot 2 + \frac{1250000(6 \cdot 2 + 10)}{9 \cdot 2} = 100000 + \frac{1250000 \cdot 22}{18} = 100000 + 1527777.78 = 1627777.78 \text{ đồng} $$
$$ P(2) = 5000000 - 1627777.78 = 3372222.22 \text{ đồng} $$

Như vậy, lợi nhuận lớn nhất đạt được khi sử dụng 2 máy in.

Đáp số: 2 máy in.

Câu 3:
Để tìm vận tốc lớn nhất và nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian từ 0 đến 1,6 giây, ta cần tìm cực đại và cực tiểu của hàm số $ v(t) = \frac{t+1}{t^2-t+1} + \ln(t^2-t+1) $.

Bước 1: Tính đạo hàm của $ v(t) $:
$$ v'(t) = \left( \frac{t+1}{t^2-t+1} \right)' + (\ln(t^2-t+1))' $$

Áp dụng công thức đạo hàm:
$$ \left( \frac{t+1}{t^2-t+1} \right)' = \frac{(t^2-t+1) - (t+1)(2t-1)}{(t^2-t+1)^2} = \frac{-t^2 + 2t}{(t^2-t+1)^2} $$
$$ (\ln(t^2-t+1))' = \frac{2t-1}{t^2-t+1} $$

Do đó:
$$ v'(t) = \frac{-t^2 + 2t}{(t^2-t+1)^2} + \frac{2t-1}{t^2-t+1} $$

Bước 2: Đặt $ v'(t) = 0 $ để tìm các điểm cực trị:
$$ \frac{-t^2 + 2t}{(t^2-t+1)^2} + \frac{2t-1}{t^2-t+1} = 0 $$

Nhân cả hai vế với $ (t^2-t+1)^2 $:
$$ -t^2 + 2t + (2t-1)(t^2-t+1) = 0 $$
$$ -t^2 + 2t + 2t^3 - 2t^2 + 2t - t^2 + t - 1 = 0 $$
$$ 2t^3 - 4t^2 + 5t - 1 = 0 $$

Bước 3: Giải phương trình $ 2t^3 - 4t^2 + 5t - 1 = 0 $ trong khoảng $ 0 < t < 1,6 $.

Sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc máy tính để tìm nghiệm:
$$ t \approx 0,293 \quad \text{và} \quad t \approx 1,307 $$

Bước 4: Kiểm tra các giá trị $ v(t) $ tại các điểm $ t = 0,293 $, $ t = 1,307 $ và các biên $ t = 0 $ và $ t = 1,6 $:

$$ v(0) = \frac{0+1}{0^2-0+1} + \ln(0^2-0+1) = 1 + 0 = 1 $$
$$ v(0,293) \approx \frac{0,293+1}{0,293^2-0,293+1} + \ln(0,293^2-0,293+1) \approx 1,307 $$
$$ v(1,307) \approx \frac{1,307+1}{1,307^2-1,307+1} + \ln(1,307^2-1,307+1) \approx 1,293 $$
$$ v(1,6) = \frac{1,6+1}{1,6^2-1,6+1} + \ln(1,6^2-1,6+1) \approx 1,25 $$

Bước 5: So sánh các giá trị:
- Vận tốc lớn nhất đạt tại $ t_1 \approx 0,293 $
- Vận tốc nhỏ nhất đạt tại $ t_2 \approx 1,307 $

Bước 6: Tính $ t_2 - t_1 $:
$$ t_2 - t_1 = 1,307 - 0,293 = 1,014 $$

Đáp số: $ t_2 - t_1 = 1,014 $