Một người quan sát đứng tại điểm P, cách xa đường đua một đơn vị độ dài. Hai vận động viên xuất phát từ điểm S và chạy dọc đường đua (như hình vẽ). Biết vận động viên thứ nhất chạy nhanh gấp ba lần vận động viên thứ hai, hãy tìm góc quan sát θ lớn nhất giữa hai vận động viên mà người quan sát đứng ở P nhìn thấy được.

Question

Một người quan sát đứng tại điểm P, cách xa đường đua một đơn vị độ dài. Hai vận động viên xuất phát từ điểm S và chạy dọc đường đua (như hình vẽ). Biết vận động viên thứ nhất chạy nhanh gấp ba lần vận động viên thứ hai, hãy tìm góc quan sát θ lớn nhất giữa hai vận động viên mà người quan sát đứng ở P nhìn thấy được. <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/19868baa32704b84afd2481a9b303951.jpg />

Timi · Accepted Answer

Để tìm góc quan sát $\theta$ lớn nhất giữa hai vận động viên mà người quan sát đứng ở P nhìn thấy được, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vị trí của hai vận động viên:
   - Vận động viên thứ nhất chạy với tốc độ $v_1$ và vận động viên thứ hai chạy với tốc độ $v_2 = \frac{1}{3}v_1$.
   - Sau thời gian $t$, vận động viên thứ nhất sẽ ở vị trí cách S một đoạn $3t$ và vận động viên thứ hai sẽ ở vị trí cách S một đoạn $t$.

2. Biểu diễn góc $\theta$:
   - Góc $\theta$ là góc giữa hai đường thẳng nối từ điểm P đến vị trí của hai vận động viên.
   - Ta có thể sử dụng công thức lượng giác để biểu diễn $\theta$ thông qua $\alpha$ và $\beta$, là các góc tạo bởi các đường thẳng nối từ P đến vị trí của hai vận động viên với đường thẳng đứng.

3. Tính toán góc $\theta$:
   - Sử dụng công thức lượng giác:
     $$
     \tan \alpha = \frac{1}{t}, \quad \tan \beta = \frac{1}{3t}
     $$
   - Góc $\theta = \alpha - \beta$.
   - Sử dụng công thức:
     $$
     \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
     $$
   - Thay vào, ta có:
     $$
     \tan \theta = \frac{\frac{1}{t} - \frac{1}{3t}}{1 + \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{3t}} = \frac{\frac{2}{3t}}{1 + \frac{1}{3t^2}}
     $$
   - Đơn giản hóa:
     $$
     \tan \theta = \frac{2}{3t} \cdot \frac{3t^2}{3t^2 + 1} = \frac{2t}{3t^2 + 1}
     $$

4. Tìm giá trị lớn nhất của $\tan \theta$:
   - Xét hàm số $f(t) = \frac{2t}{3t^2 + 1}$.
   - Tính đạo hàm:
     $$
     f&#x27;(t) = \frac{(3t^2 + 1) \cdot 2 - 2t \cdot 6t}{(3t^2 + 1)^2} = \frac{2 - 6t^2}{(3t^2 + 1)^2}
     $$
   - Giải phương trình $f&#x27;(t) = 0$:
     $$
     2 - 6t^2 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}
     $$
   - Tính $f(t)$ tại $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
     $$
     f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{3 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}
     $$

5. Kết luận:
   - Giá trị lớn nhất của $\tan \theta$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$, đạt được khi $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
   - Do đó, góc $\theta$ lớn nhất là $\theta = \frac{\pi}{6}$.

Vậy, góc quan sát $\theta$ lớn nhất là $\frac{\pi}{6}$.

Một người quan sát đứng tại điểm P, cách xa đường đua một đơn vị độ dài. Hai vận động viên xuất phát từ điểm S và chạy dọc đường đua (như hình vẽ). Biết vận động viên thứ nhất chạy nhanh gấp ba lần vận...