Tiện cận xiên của đồ thị hàm số f(x)

Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \): - Nếu \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \), ta tiếp tục tìm tiệm cận xiên. - Nếu \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \) hoặc \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \) (với \( L \) là hằng số hữu hạn), thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \( y = L \). 2. Tìm hệ số góc \( a \) của tiệm cận xiên: - Ta tính \( a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \) hoặc \( a = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} \). - Nếu \( a \neq 0 \), ta tiếp tục tìm tiệm cận xiên. - Nếu \( a = 0 \), ta dừng lại vì không có tiệm cận xiên. 3. Tìm hệ số \( b \) của tiệm cận xiên: - Ta tính \( b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] \) hoặc \( b = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - ax] \). 4. Viết phương trình của tiệm cận xiên: - Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) \) là đường thẳng \( y = ax + b \). Ví dụ cụ thể: Giả sử ta có hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} \). - Tính \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{1 + \frac{1}{x}} = +\infty \] Vì vậy, ta tiếp tục tìm tiệm cận xiên. - Tính \( a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \): \[ a = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{x(x + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = 1 \] - Tính \( b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] \): \[ b = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} - x \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^2 + 3x + 2 - x(x + 1)}{x + 1} \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^2 + 3x + 2 - x^2 - x}{x + 1} \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2x + 2}{x + 1} \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2(x + 1)}{x + 1} \right] = 2 \] - Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} \) là đường thẳng \( y = x + 2 \).