giải câu sau:

Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính $\int^1_0 f^2(x) dx$. 2. Tính $\int^1_0 f(x) dx$. 3. Tính $[\int^1_0 f(x) dx]^2$. 4. Tìm giá trị của $a$ sao cho $\int^1_0 f^2(x) dx = a [\int^1_0 f(x) dx]^2$. Bước 1: Tính $\int^1_0 f^2(x) dx$ $f(x) = 3x - 1$, do đó $f^2(x) = (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$. $\int^1_0 f^2(x) dx = \int^1_0 (9x^2 - 6x + 1) dx$ = $\left[ 3x^3 - 3x^2 + x \right]^1_0$ = $(3(1)^3 - 3(1)^2 + 1) - (3(0)^3 - 3(0)^2 + 0)$ = $(3 - 3 + 1) - 0$ = 1 Bước 2: Tính $\int^1_0 f(x) dx$ $\int^1_0 f(x) dx = \int^1_0 (3x - 1) dx$ = $\left[ \frac{3}{2}x^2 - x \right]^1_0$ = $(\frac{3}{2}(1)^2 - 1) - (\frac{3}{2}(0)^2 - 0)$ = $(\frac{3}{2} - 1) - 0$ = $\frac{1}{2}$ Bước 3: Tính $[\int^1_0 f(x) dx]^2$ $[\int^1_0 f(x) dx]^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ Bước 4: Tìm giá trị của $a$ Ta có $\int^1_0 f^2(x) dx = a [\int^1_0 f(x) dx]^2$ 1 = $a \cdot \frac{1}{4}$ $a = 4$ Vậy giá trị của $a$ là 4. Đáp án đúng là: C. 4. Câu 18. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và đạo hàm. Cụ thể, ta sẽ áp dụng công thức tích phân của tổng và tính chất của đạo hàm để tìm giá trị của \( f(3) \). Bước 1: Tính tích phân của \( 3x^2 \): \[ \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx = 3 \int_{1}^{3} x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26 \] Bước 2: Áp dụng công thức tích phân của tổng: \[ \int_{1}^{3} [3x^2 - 2f'(x)] \, dx = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx - 2 \int_{1}^{3} f'(x) \, dx \] Ta đã biết: \[ \int_{1}^{3} [3x^2 - 2f'(x)] \, dx = 4 \] Do đó: \[ 26 - 2 \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = 4 \] Bước 3: Giải phương trình để tìm \( \int_{1}^{3} f'(x) \, dx \): \[ 26 - 2 \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = 4 \\ 2 \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = 26 - 4 \\ 2 \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = 22 \\ \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = 11 \] Bước 4: Áp dụng tính chất của tích phân đạo hàm: \[ \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = f(3) - f(1) \] Biết rằng \( f(1) = -2 \), ta có: \[ f(3) - (-2) = 11 \\ f(3) + 2 = 11 \\ f(3) = 11 - 2 \\ f(3) = 9 \] Vậy giá trị của \( f(3) \) là 9. Đáp án đúng là: A. 9. Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Newton-Leibniz về tính chất của tích phân xác định. Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x). Bước 2: Áp dụng định lý Newton-Leibniz để tính tích phân xác định từ 1 đến 2 của f(x): \[ \int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) \] Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ F(2) = 4 \quad \text{và} \quad F(1) = -2 \] \[ \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: A. 6 Đáp số: A. 6 Câu 20. Để tính $\int^2_1f(x)dx$, ta sử dụng công thức tính nguyên hàm trên đoạn [a, b] của hàm số f(x): \[ \int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, F(x) là nguyên hàm của f(x). Theo đề bài, ta có: - F(1) = -2 - F(2) = 3 Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = F(2) - F(1) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \] Vậy $\int^2_1 f(x) \, dx = 5$. Đáp án đúng là: D. 5. Câu 21. Để tính tích phân $\int^2_1 x^3 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của $x^3$. Nguyên hàm của $x^3$ là $\frac{x^4}{4}$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int^2_1 x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]^2_1 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ \left[ \frac{x^4}{4} \right]^2_1 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \] Bước 4: Tính toán: \[ \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \] Vậy tích phân $\int^2_1 x^3 dx$ bằng $\frac{15}{4}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{15}{4}$. Câu 22. Để tính tích phân \( I = \int_{-1}^{0} (2x + 1) \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( 2x + 1 \). Nguyên hàm của \( 2x \) là \( x^2 \) và nguyên hàm của \( 1 \) là \( x \). Do đó, nguyên hàm của \( 2x + 1 \) là: \[ F(x) = x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ I = \left[ x^2 + x \right]_{-1}^{0} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ I = \left( 0^2 + 0 \right) - \left( (-1)^2 + (-1) \right) \] \[ I = 0 - (1 - 1) \] \[ I = 0 - 0 \] \[ I = 0 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 0 \) Đáp số: \( I = 0 \) Câu 23. Để tính tích phân $\int^4_1\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$. Do đó, hàm nguyên của nó là: $\int \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C.$ Bước 2: Áp dụng công thức tích phân xác định. $\int^4_1 \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \left[ \sqrt{x} \right]^4_1 = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1.$ Vậy tích phân $\int^4_1 \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ bằng 1. Đáp án đúng là: D. 1. Câu 24. Để tính tích phân $\int^1_0(3x+1)(x+3)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở ngoặc và viết lại biểu thức dưới dạng tổng: \[ (3x + 1)(x + 3) = 3x^2 + 9x + x + 3 = 3x^2 + 10x + 3 \] Bước 2: Tính tích phân từng hạng tử riêng lẻ: \[ \int^1_0 (3x^2 + 10x + 3) \, dx = \int^1_0 3x^2 \, dx + \int^1_0 10x \, dx + \int^1_0 3 \, dx \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân cơ bản: \[ \int^1_0 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = [x^3]^1_0 = 1^3 - 0^3 = 1 \] \[ \int^1_0 10x \, dx = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 10 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = 10 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \] \[ \int^1_0 3 \, dx = 3 \left[ x \right]^1_0 = 3 (1 - 0) = 3 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ \int^1_0 (3x^2 + 10x + 3) \, dx = 1 + 5 + 3 = 9 \] Vậy tích phân $\int^1_0(3x+1)(x+3)dx$ bằng 9. Đáp án đúng là: B. 9. Câu 25. Để tính tích phân $\int^1_0 x(1 + x) \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở ngoặc và viết lại biểu thức dưới dạng tổng: \[ x(1 + x) = x + x^2 \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int^1_0 (x + x^2) \, dx = \int^1_0 x \, dx + \int^1_0 x^2 \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^1_0 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 \] \[ \int^1_0 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả: \[ \int^1_0 (x + x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 + \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 \] Bước 5: Đánh giá tại các cận: \[ \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] Bước 6: Cộng các kết quả lại: \[ \int^1_0 (x + x^2) \, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \] Vậy tích phân $\int^1_0 x(1 + x) \, dx$ bằng $\frac{5}{6}$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3})|^1_0$.