Giải hộ tớ kĩ phần đạo hàm

Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{-x^2 + 2mx + 5}{x - 1} \] Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left(\frac{-x^2 + 2mx + 5}{x - 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2m)(x - 1) - (-x^2 + 2mx + 5)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 + 2x + 2mx - 2m + x^2 - 2mx - 5}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2m - 5}{(x - 1)^2} \] Để hàm số có hai điểm cực trị, đạo hàm \( y' \) phải có hai nghiệm phân biệt. Do đó, ta cần: \[ -x^2 + 2x - 2m - 5 = 0 \] Phương trình này phải có hai nghiệm phân biệt, tức là: \[ \Delta > 0 \] Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-2m - 5) = 4 - 4(2m + 5) = 4 - 8m - 20 = -8m - 16 \] Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt: \[ -8m - 16 > 0 \] \[ -8m > 16 \] \[ m < -2 \] Bước 2: Tìm các giá trị nguyên dương của \( m \) Theo điều kiện trên, \( m \) phải nhỏ hơn -2. Tuy nhiên, yêu cầu của bài toán là tìm các giá trị nguyên dương của \( m \). Điều này có nghĩa là không có giá trị nào thỏa mãn cả. Do đó, tập hợp \( S \) là rỗng, và số phần tử của \( S \) là 0. Kết luận: Số phần tử của \( S \) là 0. Bước 3: Xác định điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu vectơ AB và vectơ AC cùng phương. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 7 - 2, 4 - 3) = (2, 5, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (a - 1, b - 2, 6 - 3) = (a - 1, b - 2, 3) \] Để hai vectơ cùng phương, ta có: \[ \frac{a - 1}{2} = \frac{b - 2}{5} = \frac{3}{1} \] Từ đây, ta có: \[ \frac{a - 1}{2} = 3 \Rightarrow a - 1 = 6 \Rightarrow a = 7 \] \[ \frac{b - 2}{5} = 3 \Rightarrow b - 2 = 15 \Rightarrow b = 17 \] Kết luận: \[ 2a + b = 2 \times 7 + 17 = 14 + 17 = 31 \] Đáp số: Số phần tử của \( S \) là 0. \[ 2a + b = 31 \]