giúp mình với

Câu 1. Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu dựa trên tính chất và đạo hàm của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] Phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Đạo hàm $f'(x)$ là một parabol hướng lên, do đó: - Trên khoảng $(-\infty; 0)$, $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(0; 2)$, $f'(x) < 0$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, hàm số đồng biến. Vậy phát biểu a) đúng. b) Hàm số đã cho có 2 cực trị Từ việc tính đạo hàm và phương trình đạo hàm bằng 0, ta thấy: - Tại $x = 0$, $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại tại điểm này. - Tại $x = 2$, $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu tại điểm này. Vậy phát biểu b) đúng. c) $f(-1) < f(3)$ Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 \] \[ f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 \] So sánh hai giá trị: \[ f(-1) = 0 < 4 = f(3) \] Vậy phát biểu c) đúng. d) Nếu hàm số $g(x)$ có $g'(x) = f(x)$ thì hàm số $g(x)$ có 3 cực trị Nếu $g'(x) = f(x)$, thì các điểm cực trị của $g(x)$ sẽ tương ứng với các điểm cực trị của $f(x)$. Ta đã biết rằng $f(x)$ có 2 cực trị tại $x = 0$ và $x = 2$. Do đó, $g(x)$ cũng sẽ có 2 cực trị tại những điểm này. Vậy phát biểu d) sai. Kết luận Các phát biểu đúng là: - a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. - b) Hàm số đã cho có 2 cực trị. - c) $f(-1) < f(3)$. Phát biểu sai là: - d) Nếu hàm số $g(x)$ có $g'(x) = f(x)$ thì hàm số $g(x)$ có 3 cực trị. Câu 2. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = e^x(x - 1)$ trên đoạn $[-1; 3]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = e^x(x - 1) + e^x = e^x(x - 1 + 1) = xe^x \] 2. Xác định các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow xe^x = 0 \Rightarrow x = 0 \] 3. Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ f(-1) = e^{-1}(-1 - 1) = -\frac{2}{e} \] \[ f(0) = e^0(0 - 1) = -1 \] \[ f(3) = e^3(3 - 1) = 2e^3 \] 4. So sánh các giá trị để xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ f(-1) = -\frac{2}{e} \approx -0.736 \] \[ f(0) = -1 \] \[ f(3) = 2e^3 \approx 40.17 \] Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ là $2e^3$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ là $-1$. Do đó, ta có: \[ M = 2e^3 \] \[ m = -1 \] Bây giờ, ta kiểm tra các đáp án: a) $M < 1$: Sai vì $2e^3 > 1$. b) $m = -2$: Sai vì $m = -1$. c) $M.m = -2e^3$: Sai vì $M.m = 2e^3 \times (-1) = -2e^3$. d) $m + \ln(M) = 2$: Đúng vì $m + \ln(M) = -1 + \ln(2e^3) = -1 + \ln(2) + 3 = 2$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{d)~m + \ln(M) = 2} \] Câu 3. a) Đúng vì $x=\frac12$ là nghiệm của mẫu thức. b) Đúng vì $y=x-2+\frac1{2x-1}=\frac12(2x-1)-\frac32+\frac1{2x-1}$ Khi $x$ thay đổi và tiến đến $+\infty$ hoặc $-\infty$ thì $\frac1{2x-1}$ tiến đến 0. Do đó $y$ tiến đến đường thẳng $y=\frac12x-\frac32.$ Đường thẳng này đi qua điểm $M(-1;1).$ c) Đúng vì giao điểm của hai đường tiệm cận là $(\frac12;-\frac32).$ d) Đúng vì đường thẳng $y=\frac12x-\frac32$ cắt trục hoành tại điểm $A(3;0)$ và cắt trục tung tại điểm $B(0;-\frac32).$ Ta có $AB=\sqrt{(3-0)^2+(0+\frac32)^2}=2\sqrt2.$ Câu 4. a) Ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A^\prime B^\prime}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$ b) Ta có $\overrightarrow{AA^\prime}.\overrightarrow{AC^\prime}=AA^\prime.AC^\prime.cosA=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=14>3.$ c) Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B^\prime D^\prime}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^\prime D^\prime}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}.$ d) Ta có $|\overrightarrow{C^\prime A}+\overrightarrow{C^\prime B}+\overrightarrow{C^\prime C}+\overrightarrow{C^\prime D}|=|\overrightarrow{C^\prime C}+\overrightarrow{C^\prime C}|=|2\overrightarrow{C^\prime C}|=2CC^\prime=2.$ Câu 1. Để tìm số lượng sản phẩm tối thiểu phải bán ra để doanh thu bắt đầu tăng, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số doanh thu \( R(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( R(x) \): \[ R'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 9x^2 - 21x + 100) = 3x^2 - 18x - 21 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( R'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 18x - 21 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = -7 \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \] \[ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 \] Bước 4: Xác định dấu của đạo hàm \( R'(x) \) ở các khoảng: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ R'(-2) = 3(-2)^2 - 18(-2) - 21 = 12 + 36 - 21 = 27 > 0 \] - Khi \( -1 < x < 7 \), chọn \( x = 0 \): \[ R'(0) = 3(0)^2 - 18(0) - 21 = -21 < 0 \] - Khi \( x > 7 \), chọn \( x = 8 \): \[ R'(8) = 3(8)^2 - 18(8) - 21 = 192 - 144 - 21 = 27 > 0 \] Bước 5: Kết luận về các điểm cực trị: - \( x = -1 \) là điểm cực đại vì \( R'(x) \) chuyển từ dương sang âm. - \( x = 7 \) là điểm cực tiểu vì \( R'(x) \) chuyển từ âm sang dương. Vậy, doanh thu bắt đầu tăng khi số lượng sản phẩm bán ra vượt qua điểm cực tiểu \( x = 7 \). Kết luận: Số lượng sản phẩm tối thiểu phải bán ra để doanh thu bắt đầu tăng là 7000 sản phẩm. Câu 2. Gọi chiều dài và chiều rộng của đáy hộp là $x$ và $y$ (đơn vị: cm), $x > 0, y > 0$. Diện tích đáy của hộp là $xy = 100$. Chiều cao của hộp là $x + y$. Thể tích của hộp là $V = xy(x + y) = 100(x + y)$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \[x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20.\] Do đó, thể tích của hộp là: \[V = 100(x + y) \geq 100 \times 20 = 2000.\] Dấu bằng xảy ra khi $x = y$, tức là $x = y = 10$. Vậy thể tích nhỏ nhất của hộp là $2000~cm^3$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị để tìm các giá trị của \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\). 2. Tính \(a^3 + b^3 + c^3 + d^3\) dựa trên các giá trị đã tìm được. Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị - Đồ thị đi qua điểm \((0, -1)\). Do đó, khi \(x = 0\), ta có: \[ y = d = -1 \] - Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \((1, 0)\). Do đó, khi \(x = 1\), ta có: \[ y = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 0 \] \[ a + b + c - 1 = 0 \] \[ a + b + c = 1 \quad \text{(1)} \] - Đồ thị có điểm cực đại tại \((-1, 2)\). Do đó, khi \(x = -1\), ta có: \[ y = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = 2 \] \[ -a + b - c - 1 = 2 \] \[ -a + b - c = 3 \quad \text{(2)} \] - Đạo hàm của hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] Điểm cực đại tại \(x = -1\) có đạo hàm bằng 0: \[ y'(-1) = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0 \] \[ 3a - 2b + c = 0 \quad \text{(3)} \] Bước 2: Giải hệ phương trình Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b + c = 1 & \text{(1)} \\ -a + b - c = 3 & \text{(2)} \\ 3a - 2b + c = 0 & \text{(3)} \end{cases} \] Cộng phương trình (1) và (2): \[ (a + b + c) + (-a + b - c) = 1 + 3 \] \[ 2b = 4 \] \[ b = 2 \] Thay \(b = 2\) vào phương trình (1): \[ a + 2 + c = 1 \] \[ a + c = -1 \quad \text{(4)} \] Thay \(b = 2\) vào phương trình (3): \[ 3a - 2(2) + c = 0 \] \[ 3a - 4 + c = 0 \] \[ 3a + c = 4 \quad \text{(5)} \] Giải hệ phương trình (4) và (5): \[ \begin{cases} a + c = -1 & \text{(4)} \\ 3a + c = 4 & \text{(5)} \end{cases} \] Trừ phương trình (4) từ phương trình (5): \[ (3a + c) - (a + c) = 4 - (-1) \] \[ 2a = 5 \] \[ a = \frac{5}{2} \] Thay \(a = \frac{5}{2}\) vào phương trình (4): \[ \frac{5}{2} + c = -1 \] \[ c = -1 - \frac{5}{2} \] \[ c = -\frac{7}{2} \] Bước 3: Tính \(a^3 + b^3 + c^3 + d^3\) Ta có: \[ a = \frac{5}{2}, \quad b = 2, \quad c = -\frac{7}{2}, \quad d = -1 \] Tính \(a^3 + b^3 + c^3 + d^3\): \[ a^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8} \] \[ b^3 = 2^3 = 8 \] \[ c^3 = \left(-\frac{7}{2}\right)^3 = -\frac{343}{8} \] \[ d^3 = (-1)^3 = -1 \] Do đó: \[ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = \frac{125}{8} + 8 - \frac{343}{8} - 1 \] \[ = \frac{125}{8} + \frac{64}{8} - \frac{343}{8} - \frac{8}{8} \] \[ = \frac{125 + 64 - 343 - 8}{8} \] \[ = \frac{-162}{8} \] \[ = -\frac{81}{4} \] Vậy, \(a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -\frac{81}{4}\). Đáp số: \(-\frac{81}{4}\)