tóm tắt chương phương pháp toạ độ không giang ?? viết tri tiết

Chương "Phương pháp tọa độ trong không gian" là một phần quan trọng của hình học giải tích ba chiều. Nó mở rộng các khái niệm về tọa độ từ mặt phẳng lên không gian ba chiều, cho phép chúng ta biểu diễn các điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các hình khối bằng các con số và phương trình. Dưới đây là tóm tắt chi tiết các nội dung chính thường có trong chương này:

I. Hệ Tọa Độ Descartes Trong Không Gian (Oxyz)

Định nghĩa:

Hệ tọa độ Descartes trong không gian bao gồm ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc đôi một tại gốc tọa độ O.
Trục Ox (trục hoành): Hướng từ trái sang phải (thường được vẽ nằm ngang).
Trục Oy (trục tung): Hướng từ sau ra trước (thường được vẽ xiên).
Trục Oz (trục cao): Hướng từ dưới lên trên (thường được vẽ thẳng đứng).
Ba trục này tạo thành ba mặt phẳng tọa độ:
Mặt phẳng (Oxy): Chứa trục Ox và Oy.
Mặt phẳng (Oyz): Chứa trục Oy và Oz.
Mặt phẳng (Ozx): Chứa trục Oz và Ox.
Ba mặt phẳng tọa độ chia không gian thành tám октант (gốc phần tám).
Tọa độ của một điểm:

Mỗi điểm M trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm M, ký hiệu là M(x, y, z).
x là hoành độ (khoảng cách có dấu từ M đến mặt phẳng (Oyz)).
y là tung độ (khoảng cách có dấu từ M đến mặt phẳng (Ozx)).
z là cao độ (khoảng cách có dấu từ M đến mặt phẳng (Oxy)).
Các điểm đặc biệt:
Gốc tọa độ: O(0, 0, 0).
Điểm nằm trên trục Ox: (x, 0, 0).
Điểm nằm trên trục Oy: (0, y, 0).
Điểm nằm trên trục Oz: (0, 0, z).
Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy): (x, y, 0).
Điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz): (0, y, z).
Điểm nằm trên mặt phẳng (Ozx): (x, 0, z).
II. Véc Tơ Trong Không Gian

Định nghĩa:

Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Véc tơ có điểm đầu A và điểm cuối B được ký hiệu là  
AB

.
Tọa độ của véc tơ:

Nếu điểm A(x 
A
​
,y 
A
​
,z 
A
​
) và điểm B(x 
B
​
,y 
B
​
,z 
B
​
), thì tọa độ của véc tơ  
AB

 là:
AB

=(x 
B
​
−x 
A
​
,y 
B
​
−y 
A
​
,z 
B
​
−z 
A
​
)
Véc tơ  
a

 có tọa độ (a 
x
​
,a 
y
​
,a 
z
​
) được ký hiệu là  
a

=(a 
x
​
,a 
y
​
,a 
z
​
) hoặc  
a

=a 
x
​
 
i

+a 
y
​
 
j

​
+a 
z
​
 
k

, trong đó  
i

=(1,0,0),  
j

​
=(0,1,0),  
k

=(0,0,1) là các véc tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
Các phép toán trên véc tơ:

Phép cộng véc tơ: Nếu  
a

=(a 
x
​
,a 
y
​
,a 
z
​
) và  
b

=(b 
x
​
,b 
y
​
,b 
z
​
), thì:
a

+ 
b

=(a 
x
​
+b 
x
​
,a 
y
​
+b 
y
​
,a 
z
​
+b 
z
​
)
Phép trừ véc tơ:
a

− 
b

=(a 
x
​
−b 
x
​
,a 
y
​
−b 
y
​
,a 
z
​
−z 
b
​
)
Phép nhân véc tơ với một số thực k:
k 
a

=(ka 
x
​
,ka 
y
​
,ka 
z
​
)
Độ dài của véc tơ:

Độ dài (hay môđun) của véc tơ  
a

=(a 
x
​
,a 
y
​
,a 
z
​
) là:
∣ 
a

∣= 
a 
x
2
​
+a 
y
2
​
+a 
z
2
​
 

​

Độ dài của véc tơ  
AB

 với A(x 
A
​
,y 
A
​
,z 
A
​
) và B(x 
B
​
,y 
B
​
,z 
B
​
) là:
∣ 
AB

∣= 
(x 
B
​
−x 
A
​
) 
2
+(y 
B
​
−y 
A
​
) 
2
+(z 
B
​
−z 
A
​
) 
2
 

​

Tích vô hướng của hai véc tơ:

Nếu  
a

=(a 
x
​
,a 
y
​
,a 
z
​
) và  
b

=(b 
x
​
,b 
y
​
,b 
z
​
), thì tích vô hướng của  
a

 và  
b

 là:
a

⋅ 
b

=a 
x
​
b 
x
​
+a 
y
​
b 
y
​
+a 
z
​
b 
z
​

Hoặc  
a

⋅ 
b

=∣ 
a

∣∣ 
b

∣cosθ, trong đó θ là góc giữa hai véc tơ  
a

 và  
b

.
Tính chất của tích vô hướng:
a

⋅ 
b

= 
b

⋅ 
a

 (tính giao hoán).
a

⋅( 
b

+ 
c

)= 
a

⋅ 
b

+ 
a

⋅ 
c

 (tính phân phối).
(k 
a

)⋅ 
b

=k( 
a

⋅ 
b

).
a

⋅ 
a

=∣ 
a

∣ 
2
≥0.
a

⊥ 
b

⟺ 
a

⋅ 
b

=0.
Tích có hướng của hai véc tơ:

Nếu  
a

=(a 
x
​
,a 
y
​
,a 
z
​
) và  
b

=(b 
x
​
,b 
y
​
,b 
z
​
), thì tích có hướng của  
a

 và  
b

 là một véc tơ  
c

= 
a

× 
b

 có tọa độ:
c

=(a 
y
​
b 
z
​
−a 
z
​
b 
y
​
,a 
z
​
b 
x
​
−a 
x
​
b 
z
​
,a 
x
​
b 
y
​
−a 
y
​
b 
x
​
)
Hoặc có thể tính bằng định thức: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y)\vec{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\vec{j} + (a_x b_y - a_