giải chi tiết các câu này giúp mình với

Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - \(|\overrightarrow{a}|\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\), - \(|\overrightarrow{b}|\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{b}\), - \(\theta\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Theo đề bài, ta có: - \(|\overrightarrow{a}| = 12\), - \(|\overrightarrow{b}| = 9\), - \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 60^\circ\). Do đó, ta có thể tính: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Thay các giá trị này vào công thức tích vô hướng, ta được: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 12 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 54 \] Vậy giá trị của \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) là 54. Do đó, đáp án đúng là B. 54. Câu 11: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\), ta thực hiện phép trừ hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\). Cho \(\overrightarrow{u} = (0; -2; -3)\) và \(\overrightarrow{v} = (1; 4; 2)\). Tọa độ của \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\) được tính bằng cách lấy từng thành phần tương ứng của \(\overrightarrow{u}\) trừ đi thành phần tương ứng của \(\overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (0 - 1; -2 - 4; -3 - 2) \] Tính từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: \(0 - 1 = -1\) - Thành phần thứ hai: \(-2 - 4 = -6\) - Thành phần thứ ba: \(-3 - 2 = -5\) Vậy tọa độ của \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\) là \((-1; -6; -5)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~(-1; -6; -5)\). Câu 12: Để xác định chiều dài của sợi dây cáp nối giữa hai điểm cao trên hai tòa nhà, chúng ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm $A(3;5;12)$ và $B(8;2;20)$ trong không gian ba chiều. Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$ trong không gian ba chiều được tính theo công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng công thức này cho hai điểm $A(3;5;12)$ và $B(8;2;20)$, ta có: \[ d = \sqrt{(8 - 3)^2 + (2 - 5)^2 + (20 - 12)^2} \] Tính từng phần: - $(8 - 3)^2 = 5^2 = 25$ - $(2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9$ - $(20 - 12)^2 = 8^2 = 64$ Cộng các giá trị này lại: \[ d = \sqrt{25 + 9 + 64} = \sqrt{98} \] Tính giá trị của $\sqrt{98}$: \[ \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \] Giá trị gần đúng của $\sqrt{2} \approx 1.414$, do đó: \[ 7\sqrt{2} \approx 7 \times 1.414 = 9.898 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ d \approx 10 \] Vậy công ty cần chuẩn bị sợi dây cáp có chiều dài tối thiểu là 10 mét. Đáp án đúng là C. 10. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta sẽ xem xét từng phần một cách chi tiết. a) Tập xác định của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \). - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) là mẫu số khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). - Do đó, \( x \neq 1 \). Vậy, tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). b) Đạo hàm của hàm số: Ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 - x + 1)'(x - 1) - (x^2 - x + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] Tính từng phần: - Tử số: \((x^2 - x + 1)' = 2x - 1\) - Mẫu số: \((x - 1)' = 1\) Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) - (x^2 - x + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] Khai triển và rút gọn: \[ y' = \frac{(2x^2 - 2x - x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] Vậy, đạo hàm của hàm số là \( y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \). c) Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. - Mẫu số: \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \). - Tử số tại \( x = 1 \) là \( 1^2 - 1 + 1 = 1 \neq 0 \). Vậy, hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). d) Đồ thị của hàm số: Dựa vào các kết quả trên và hình vẽ, ta thấy: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Đồ thị có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất, có thể có tiệm cận ngang hoặc xiên. Nhìn vào hình vẽ, đồ thị có dạng phù hợp với các đặc điểm đã phân tích. Vậy, các kết quả trên đều phù hợp với đồ thị đã cho. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số $s(t) = -t^3 + 27t^2 + 262144$ trong khoảng $1 \leq t \leq 60$ và kiểm tra từng yêu cầu của bài toán. a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh A ngày thứ 12 là 264304 (tấn). Để kiểm tra điều này, chúng ta thay $t = 12$ vào hàm số $s(t)$: \[ s(12) = -(12)^3 + 27 \times (12)^2 + 262144 \] Tính từng phần: - $(12)^3 = 1728$ - $27 \times (12)^2 = 27 \times 144 = 3888$ Thay vào công thức: \[ s(12) = -1728 + 3888 + 262144 = 264304 \] Kết quả này đúng với yêu cầu của bài toán. b) Ngày thứ 18 của tỉnh A có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. Để tìm ngày có lượng gạo xuất khẩu cao nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $s(t)$ trong khoảng $1 \leq t \leq 60$. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm cực trị. Tính đạo hàm của $s(t)$: \[ s'(t) = -3t^2 + 54t \] Đặt $s'(t) = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ -3t^2 + 54t = 0 \implies 3t(t - 18) = 0 \] Giải phương trình này, ta có $t = 0$ hoặc $t = 18$. Tuy nhiên, $t = 0$ không thuộc khoảng $1 \leq t \leq 60$, nên ta chỉ xét $t = 18$. Kiểm tra dấu của $s'(t)$ để xác định loại cực trị: - Với $t < 18$, $s'(t) > 0$ (hàm số đồng biến). - Với $t > 18$, $s'(t) < 0$ (hàm số nghịch biến). Do đó, $t = 18$ là điểm cực đại. Vậy ngày thứ 18 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất. c) Ngày thứ 1 của tỉnh A có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. Để kiểm tra điều này, ta cần so sánh giá trị của $s(t)$ tại các điểm biên và các điểm cực trị trong khoảng $1 \leq t \leq 60$. Tính $s(1)$ và $s(60)$: \[ s(1) = -(1)^3 + 27 \times (1)^2 + 262144 = -1 + 27 + 262144 = 262170 \] \[ s(60) = -(60)^3 + 27 \times (60)^2 + 262144 \] Tính từng phần: - $(60)^3 = 216000$ - $27 \times (60)^2 = 27 \times 3600 = 97200$ Thay vào công thức: \[ s(60) = -216000 + 97200 + 262144 = 14344 \] So sánh $s(1)$, $s(18)$ và $s(60)$: - $s(1) = 262170$ - $s(18) = 264304$ (đã tính ở phần a) - $s(60) = 14344$ Như vậy, $s(60)$ là nhỏ nhất, không phải $s(1)$. Do đó, ngày thứ 1 không có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. d) Từ ngày 18 đến ngày thứ 60 của tỉnh A có sản lượng xuất khẩu gạo giảm. Để kiểm tra điều này, ta xem xét dấu của $s'(t)$ trong khoảng $18 \leq t \leq 60$: - Như đã phân tích, $s'(t) < 0$ khi $t > 18$. Điều này cho thấy hàm số $s(t)$ nghịch biến trong khoảng $18 \leq t \leq 60$, tức là sản lượng xuất khẩu gạo giảm dần từ ngày 18 đến ngày 60. Kết luận: - a) Đúng. - b) Đúng. - c) Sai, ngày thứ 60 có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất. - d) Đúng. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và từ đó tính giá trị của \(P = b + c\). Bước 1: Tìm tọa độ của điểm \(B\) Giả sử điểm \(O\) là gốc tọa độ \((0, 0, 0)\). Ta có độ dài \(OB = 17\) m và góc \(\widehat{HOB} = 60^\circ\). Để đơn giản, ta giả sử điểm \(B\) nằm trên mặt phẳng \(Oxy\) (vì không có thông tin về trục \(z\)), do đó tọa độ của \(B\) có dạng \((x_B, y_B, 0)\). Sử dụng công thức độ dài đoạn thẳng trong không gian: \[ OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2 + 0^2} = 17 \] \[ x_B^2 + y_B^2 = 289 \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm \(A\) Tương tự, ta có độ dài \(OA = 12\) m. Giả sử điểm \(A\) cũng nằm trên mặt phẳng \(Oxy\), tọa độ của \(A\) có dạng \((x_A, y_A, 0)\). Sử dụng công thức độ dài đoạn thẳng trong không gian: \[ OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + 0^2} = 12 \] \[ x_A^2 + y_A^2 = 144 \] Bước 3: Sử dụng góc giữa hai vectơ Góc \(\widehat{HOB} = 60^\circ\) là góc giữa vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\). Công thức tính góc giữa hai vectơ là: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} \] Với \(\theta = 60^\circ\), ta có: \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] Thay vào công thức: \[ \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{12 \times 17} = \frac{1}{2} \] \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 102 \] Bước 4: Tìm tọa độ của \(\overrightarrow{AB}\) Giả sử \(\overrightarrow{OA} = (x_A, y_A, 0)\) và \(\overrightarrow{OB} = (x_B, y_B, 0)\), ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (x_B - x_A, y_B - y_A, 0) \] Bước 5: Tính \(P = b + c\) Vì \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, 0)\), ta có: \[ b = y_B - y_A, \quad c = 0 \] Do đó: \[ P = b + c = y_B - y_A + 0 = y_B - y_A \] Tuy nhiên, để tìm giá trị cụ thể của \(y_B - y_A\), ta cần thêm thông tin hoặc giả định về vị trí cụ thể của \(A\) và \(B\). Trong bài toán này, không có thông tin cụ thể hơn, nên ta chỉ có thể kết luận rằng: \[ P = y_B - y_A \] Nếu có thêm thông tin về vị trí cụ thể của \(A\) và \(B\), ta có thể tính toán chính xác hơn.