Giải giúp tôi

Câu 62: Trước hết, ta cần kiểm tra lại công thức chuyển động đã cho. Công thức $x = -t^3 + 18t^3$ có vẻ như bị sai vì cả hai hạng tử đều là $t^3$. Có khả năng đây là lỗi đánh máy và thực tế công thức đúng nên là $x = -t^3 + 18t^2$ hoặc $x = -t^2 + 18t^3$. Tuy nhiên, để đảm bảo tính chính xác, chúng ta sẽ giả sử rằng công thức đúng là $x = -t^3 + 18t^2$. Bây giờ, ta sẽ giải bài toán dựa trên công thức này. 1. Tìm vận tốc: Vận tốc $v(t)$ của vật tại thời điểm $t$ là đạo hàm của quãng đường $x(t)$ theo thời gian $t$: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 18t^2) = -3t^2 + 36t \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 10 giây: Để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc, ta cần tìm cực trị của hàm $v(t) = -3t^2 + 36t$ trong khoảng $0 \leq t \leq 10$. - Tìm đạo hàm của $v(t)$: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 36t) = -6t + 36 \] - Giải phương trình $v'(t) = 0$ để tìm điểm dừng: \[ -6t + 36 = 0 \implies t = 6 \] - Kiểm tra giá trị của $v(t)$ tại các điểm $t = 0$, $t = 6$, và $t = 10$: \[ v(0) = -3(0)^2 + 36(0) = 0 \] \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) = -108 + 216 = 108 \] \[ v(10) = -3(10)^2 + 36(10) = -300 + 360 = 60 \] - So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: \[ v(0) = 0, \quad v(6) = 108, \quad v(10) = 60 \] Giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 10 giây là 108 m/s, đạt được khi $t = 6$ giây. Kết luận: Giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 10 giây là 108 m/s, đạt được khi $t = 6$ giây. Câu 63: Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{4x^2 - 15x + 8}{x - 3} \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - 3 \neq 0 \] Do đó, \( x \neq 3 \). Bước 2: Phân tích hàm số thành dạng phân thức đơn giản hơn Ta thực hiện phép chia đa thức để phân tích hàm số: Chia \( 4x^2 - 15x + 8 \) cho \( x - 3 \): 1. Lấy \( 4x^2 \) chia cho \( x \), được \( 4x \). 2. Nhân \( 4x \) với \( x - 3 \), được \( 4x^2 - 12x \). 3. Trừ \( 4x^2 - 12x \) từ \( 4x^2 - 15x + 8 \), được \( -3x + 8 \). 4. Lấy \( -3x \) chia cho \( x \), được \( -3 \). 5. Nhân \( -3 \) với \( x - 3 \), được \( -3x + 9 \). 6. Trừ \( -3x + 9 \) từ \( -3x + 8 \), được \( -1 \). Vậy, ta có: \[ \frac{4x^2 - 15x + 8}{x - 3} = 4x - 3 + \frac{-1}{x - 3} \] Bước 3: Xác định tâm đối xứng Hàm số có dạng \( y = ax + b + \frac{c}{x - d} \) có tâm đối xứng \( I(d; a \cdot d + b) \). Ở đây, \( a = 4 \), \( b = -3 \), \( c = -1 \), \( d = 3 \). Tọa độ tâm đối xứng là: \[ I(3; 4 \cdot 3 - 3) = I(3; 12 - 3) = I(3; 9) \] Bước 4: Tính \( 2a + b \) Với \( a = 3 \) và \( b = 9 \), ta có: \[ 2a + b = 2 \cdot 3 + 9 = 6 + 9 = 15 \] Vậy, giá trị của \( 2a + b \) là \( 15 \). Câu 64: Để tìm tọa độ của điểm treo quạt \(I(a; b; c)\) là điểm chính giữa của phòng học hình hộp chữ nhật, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật: - Gốc tọa độ \(O = A(0, 0, 0)\). - Đỉnh \(B(10, 0, 0)\). - Đỉnh \(C(10, 6, 0)\). - Đỉnh \(D(0, 6, 0)\). - Đỉnh \(E(0, 0, 4)\). - Đỉnh \(F(10, 0, 4)\). - Đỉnh \(G(10, 6, 4)\). - Đỉnh \(H(0, 6, 4)\). 2. Tính tọa độ của điểm chính giữa: Điểm chính giữa của phòng học là trung điểm của đường chéo không gian \(AG\). - Tọa độ của \(A\) là \((0, 0, 0)\). - Tọa độ của \(G\) là \((10, 6, 4)\). Trung điểm \(I\) có tọa độ: \[ a = \frac{0 + 10}{2} = 5 \] \[ b = \frac{0 + 6}{2} = 3 \] \[ c = \frac{0 + 4}{2} = 2 \] 3. Tính tổng \(a + b + c\): \[ a + b + c = 5 + 3 + 2 = 10 \] Vậy giá trị của \(a + b + c\) là \(10\). Câu 65: Để tìm góc lớn nhất trong tam giác \(ABC\), ta cần tính độ dài các cạnh của tam giác và sử dụng định lý cosin để xác định góc lớn nhất. Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\). - Độ dài cạnh \(AB\): \[ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] - Độ dài cạnh \(BC\): \[ BC = \sqrt{(2-1)^2 + (2-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \] - Độ dài cạnh \(CA\): \[ CA = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 0} = 1 \] Bước 2: Sử dụng định lý cosin để tìm góc lớn nhất. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) là: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Tính các giá trị cosin: - \(\cos A\): \[ \cos A = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \times 1 \times \sqrt{2}} = \frac{1 + 2 - 5}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] - \(\cos B\): \[ \cos B = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 - 1^2}{2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}} = \frac{5 + 2 - 1}{2\sqrt{10}} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] - \(\cos C\): \[ \cos C = \frac{(\sqrt{5})^2 + 1^2 - (\sqrt{2})^2}{2 \times \sqrt{5} \times 1} = \frac{5 + 1 - 2}{2\sqrt{5}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Bước 3: Xác định góc lớn nhất. Góc lớn nhất sẽ tương ứng với giá trị cosin nhỏ nhất. Trong các giá trị \(\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos B = \frac{3}{\sqrt{10}}\), \(\cos C = \frac{2}{\sqrt{5}}\), giá trị nhỏ nhất là \(\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Do đó, góc \(A\) là góc lớn nhất. Ta có: \[ \cos A = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow A = 135^\circ \] Vậy, góc lớn nhất trong tam giác \(ABC\) có số đo là \(135^\circ\). Câu 66: Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Cụ thể, ta cần: 1. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) 2. \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) Trước tiên, ta tính các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\): - \(\overrightarrow{AB} = (2 - 1; 5 - 2; 7 - (-3)) = (1; 3; 10)\) - \(\overrightarrow{BC} = (-3 - 2; 1 - 5; 4 - 7) = (-5; -4; -3)\) Để \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ \overrightarrow{DC} = (x - (-3); y - 1; z - 4) = (1; 3; 10) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 3 = 1 \\ y - 1 = 3 \\ z - 4 = 10 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x = 1 - 3 = -2 \\ y = 3 + 1 = 4 \\ z = 10 + 4 = 14 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm \(D\) là \((-2; 4; 14)\). Tính tổng \(a + b + c\): \[ a + b + c = -2 + 4 + 14 = 16 \] Vậy \(a + b + c = 16\). Câu 67: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các lực tác dụng lên chiếc đèn tròn. Chiếc đèn được treo bởi ba sợi dây không dãn từ điểm O trên trần nhà đến ba điểm A, B, C trên đèn. Các lực căng của sợi dây tại điểm O là \( F_1, F_2, F_3 \) và có độ lớn bằng nhau, mỗi lực bằng 20 N. Do các sợi dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, ta có thể coi chúng như các trục của một hệ tọa độ không gian vuông góc. Khi đó, các lực căng \( F_1, F_2, F_3 \) có thể được biểu diễn như các vectơ trong không gian ba chiều, và mỗi vectơ có độ lớn là 20 N. Vì các lực căng đôi một vuông góc, nên tổng hợp của ba lực này sẽ là vectơ tổng của ba vectơ vuông góc có cùng độ lớn. Độ lớn của vectơ tổng này được tính bằng công thức: \[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + F_3^2} \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ F = \sqrt{20^2 + 20^2 + 20^2} = \sqrt{3 \times 20^2} = \sqrt{3 \times 400} = \sqrt{1200} \] Tính toán tiếp: \[ F = \sqrt{1200} = \sqrt{100 \times 12} = 10 \times \sqrt{12} = 10 \times 2\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \] Làm tròn đến hàng phần mười, ta có: \[ F \approx 20 \times 1.732 = 34.64 \, \text{N} \] Vì \( F \) là tổng hợp của các lực căng và cũng chính là trọng lượng của chiếc đèn, nên trọng lượng của chiếc đèn là khoảng 34.6 N. Câu 68: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vị trí của hai chiếc flycam sau khi bay lên từ điểm xuất phát. Tuy nhiên, có vẻ như đề bài có một số thông tin không rõ ràng hoặc bị lỗi định dạng. Tôi sẽ cố gắng giải thích dựa trên những gì có thể hiểu được. Bước 1: Xác định vị trí của flycam thứ nhất Flycam thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 3 m về phía nam và 2 m về phía đông. Giả sử điểm xuất phát là gốc tọa độ \(O(0,0)\), thì vị trí của flycam thứ nhất có thể được xác định như sau: - Di chuyển 3 m về phía nam: tọa độ \(y\) giảm 3 đơn vị. - Di chuyển 2 m về phía đông: tọa độ \(x\) tăng 2 đơn vị. Vậy vị trí của flycam thứ nhất là \(F_1(2, -3)\). Bước 2: Xác định vị trí của flycam thứ hai Thông tin về flycam thứ hai không rõ ràng trong đề bài. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng flycam thứ hai có tọa độ \(B(6, 6, 5)\) như một phần của thông tin bị lỗi, thì chúng ta có thể tính khoảng cách giữa hai điểm \(A(2, 3, 5)\) và \(B(6, 6, 5)\). Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\) trong không gian được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng công thức này cho hai điểm \(A(2, 3, 5)\) và \(B(6, 6, 5)\): \[ AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) là 5 đơn vị. Kết luận Do thông tin trong đề bài không đầy đủ và có lỗi định dạng, tôi đã cố gắng giải thích dựa trên những gì có thể hiểu được. Nếu có thêm thông tin hoặc cần làm rõ, vui lòng cung cấp thêm chi tiết.