toán cao cấp cao đẳng

Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số \( y = f(x) = \left\{\begin{array}{ll}x^2+1 & x \geq 1 \\ 2x-1 & x < 1\end{array}\right. \) Để xét tính liên tục của hàm số tại \( x = 1 \), ta cần kiểm tra ba điều kiện: 1. Hàm số \( f(x) \) phải xác định tại \( x = 1 \). 2. Giới hạn trái và giới hạn phải của \( f(x) \) tại \( x = 1 \) phải tồn tại. 3. Giới hạn trái và giới hạn phải của \( f(x) \) tại \( x = 1 \) phải bằng giá trị của hàm số tại \( x = 1 \). Bước 1: Kiểm tra giá trị của hàm số tại \( x = 1 \) \[ f(1) = 1^2 + 1 = 2 \] Bước 2: Tính giới hạn trái và giới hạn phải tại \( x = 1 \) - Giới hạn trái (\( x \to 1^- \)): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1 \] - Giới hạn phải (\( x \to 1^+ \)): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 \] Bước 3: So sánh giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị của hàm số tại \( x = 1 \) - Giới hạn trái: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \) - Giới hạn phải: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \) - Giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \( f(1) = 2 \) Vì \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x) \), nên hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x = 1 \). Câu 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) \( y = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \) Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(u)'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = x^2 + 2x \) - \( v = x - 1 \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 2x + 2 \] \[ v' = 1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2} \] b) \( y = \sin^2(2x + 1) \) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: \[ y' = 2\sin(2x + 1) \cdot \cos(2x + 1) \cdot 2 \] \[ y' = 4\sin(2x + 1)\cos(2x + 1) \] c) \( y = \sqrt{(2x + 1)^3} \) Viết lại hàm số dưới dạng: \[ y = (2x + 1)^{3/2} \] Sử dụng công thức đạo hàm của lũy thừa: \[ y' = \frac{3}{2}(2x + 1)^{1/2} \cdot 2 \] \[ y' = 3(2x + 1)^{1/2} \] \[ y' = 3\sqrt{2x + 1} \]