Cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn:
a^2+b^2+c^2∣(a^3+b^3+c^3).
Chứng minh rằng:
a=b=c.

Question

Timi · Accepted Answer

Giả sử $ a \geq b \geq c $. Ta có $ a^2 + b^2 + c^2 \mid a^3 + b^3 + c^3 $.

Ta sẽ chứng minh rằng $ a = b = c $.

Trước hết, ta xét trường hợp $ a > c $. Ta có:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = a(a^2) + b(b^2) + c(c^2) $$
$$ = a(a^2 + b^2 + c^2) - a(b^2 + c^2) + b(b^2) + c(c^2) $$
$$ = a(a^2 + b^2 + c^2) - ab^2 - ac^2 + b^3 + c^3 $$

Do $ a^2 + b^2 + c^2 \mid a^3 + b^3 + c^3 $, nên $ a^2 + b^2 + c^2 \mid ab^2 + ac^2 - b^3 - c^3 $.

Mặt khác, ta có:
$$ ab^2 + ac^2 - b^3 - c^3 = a(b^2 + c^2) - (b^3 + c^3) $$
$$ = a(b^2 + c^2) - b(b^2) - c(c^2) $$
$$ = a(b^2 + c^2) - b^3 - c^3 $$

Do đó, $ a^2 + b^2 + c^2 \mid a(b^2 + c^2) - b^3 - c^3 $.

Nhưng $ a > c $, nên $ a(b^2 + c^2) - b^3 - c^3 > 0 $.

Do đó, $ a^2 + b^2 + c^2 \leq a(b^2 + c^2) - b^3 - c^3 $.

Tuy nhiên, $ a^2 + b^2 + c^2 \leq a(b^2 + c^2) - b^3 - c^3 $ là vô lý vì $ a^2 + b^2 + c^2 $ là tổng của ba bình phương còn $ a(b^2 + c^2) - b^3 - c^3 $ là hiệu của hai số.

Vậy giả sử $ a > c $ là sai. Do đó, $ a = c $.

Tương tự, ta cũng chứng minh được $ b = c $.

Vậy $ a = b = c $.

Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu $ a \geq b \geq c $.

Do đó, $ a = b = c $.

Vậy $ a = b = c $.

Đáp án cuối cùng:
$$ \boxed{a = b = c} $$

Cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn: a^2+b^2+c^2∣(a^3+b^3+c^3). Chứng minh rằng: a=b=c.