Giúp em với ak

Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tìm cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích lớn nhất, với điều kiện tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng 120 cm. Gọi \( a \) là cạnh góc vuông và \( c \) là cạnh huyền của tam giác vuông. Theo đề bài, ta có phương trình: \[ a + c = 120 \] Diện tích \( S \) của tam giác vuông là: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] Với \( b \) là cạnh góc vuông còn lại. Theo định lý Pythagore, ta có: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \] Thay \( b \) vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{c^2 - a^2} \] Thay \( c = 120 - a \) vào: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{(120 - a)^2 - a^2} \] \[ = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{14400 - 240a} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta cần tìm đạo hàm của \( S \) theo \( a \) và giải phương trình \( S' = 0 \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng điều kiện tối ưu hóa: Với \( a + c = 120 \), ta có: \[ c = 120 - a \] Thay vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{(120 - a)^2 - a^2} \] Để tối ưu hóa, ta có thể thử nghiệm các giá trị hợp lý của \( a \) và \( c \) để tìm giá trị lớn nhất của diện tích. Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị tối ưu khi \( a = 60 \) và \( c = 60 \). Vậy, cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích lớn nhất là 60 cm. Câu 18: Để tính $|\overrightarrow{3a} + 2\overrightarrow{b}|^2$, ta sử dụng công thức: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}|^2 = |\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \] Với $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{b}$, ta có: 1. Tính $|\overrightarrow{u}|^2 = |3\overrightarrow{a}|^2 = 9|\overrightarrow{a}|^2 = 9 \cdot 1^2 = 9$. 2. Tính $|\overrightarrow{v}|^2 = |2\overrightarrow{b}|^2 = 4|\overrightarrow{b}|^2 = 4 \cdot 2^2 = 16$. 3. Tính $2 \cdot \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot (3\overrightarrow{a}) \cdot (2\overrightarrow{b}) = 12 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$. Do $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 60^\circ$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos 60^\circ = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Vậy $2 \cdot \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 12 \cdot 1 = 12$. Kết hợp các kết quả trên, ta có: \[ |\overrightarrow{3a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = 9 + 16 + 12 = 37 \] Vậy $|\overrightarrow{3a} + 2\overrightarrow{b}|^2 = 37$. Đáp án là 37. Câu 19: Để tìm vận tốc lớn nhất của chất điểm, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( S(t) = 6t^2 - t^3 \) để tìm vận tốc \( v(t) \). 1. Tính đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 - t^3) = 12t - 3t^2 \] 2. Tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \): Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( v'(t) = 0 \). \[ v'(t) = 12 - 6t = 0 \] \[ 12 = 6t \implies t = 2 \] 3. Xét dấu của \( v'(t) \) để xác định cực trị: - Với \( t < 2 \), \( v'(t) = 12 - 6t > 0 \) (vận tốc tăng). - Với \( t > 2 \), \( v'(t) = 12 - 6t < 0 \) (vận tốc giảm). Do đó, \( t = 2 \) là điểm cực đại. 4. Tính giá trị lớn nhất của \( v(t) \): \[ v(2) = 12 \times 2 - 3 \times 2^2 = 24 - 12 = 12 \] Vậy, vận tốc lớn nhất của chuyển động là \( 12 \, \text{m/s} \). Câu 20: Để thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày, chúng ta sẽ điền vào các giá trị còn thiếu trong bảng ghép nhóm. Bảng ghép nhóm: - Thời gian (phút): [0;20), [20;40), [40;60), [60;80), [80;100) - Số học sinh: x, 120, y, 70, 60 Tổng số học sinh là 400, do đó ta có phương trình: \[ x + 120 + y + 70 + 60 = 400 \] Giải phương trình này: \[ x + 120 + y + 70 + 60 = 400 \] \[ x + y + 250 = 400 \] \[ x + y = 150 \] Do đó, ta có: \[ x + y = 150 \] Ta cần thêm thông tin để xác định giá trị cụ thể của x và y. Tuy nhiên, nếu không có thêm dữ liệu cụ thể nào khác, ta có thể giả sử rằng số học sinh trong mỗi khoảng thời gian là đều nhau hoặc dựa trên các yếu tố thực tế khác. Giả sử số học sinh trong mỗi khoảng thời gian là đều nhau, ta có: \[ x = y = \frac{150}{2} = 75 \] Vậy, số học sinh trong mỗi khoảng thời gian là: - [0;20): 75 học sinh - [20;40): 120 học sinh - [40;60): 75 học sinh - [60;80): 70 học sinh - [80;100): 60 học sinh Kết quả cuối cùng: - Thời gian (phút): [0;20), [20;40), [40;60), [60;80), [80;100) - Số học sinh: 75, 120, 75, 70, 60