Nanhsnshbsbsb $1/~b,~\frac4{Cho~\Delta}.\frac{x-1}2=\frac{y+3}4=\frac{z-1}1$,$(2):~3x-2y+z-1=0.~2$,$m(\Delta,(\alpha))=?$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.
2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$.

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
$$
\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-1}{1}
$$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (2, 4, 1)$.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình:
$$
3x - 2y + z - 1 = 0
$$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\vec{n} = (3, -2, 1)$.

Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$.

Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. Gọi góc này là $\theta$, ta có:
$$
\sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
$$

Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
$$
\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 6 - 8 + 1 = -1
$$

Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
$$
|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}
$$

Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
$$
|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}
$$

Tính $\sin \theta$:
$$
\sin \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{294}} = \frac{1}{\sqrt{6 \cdot 49}} = \frac{1}{7\sqrt{6}}
$$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là:
$$
\theta = \arcsin \left( \frac{1}{7\sqrt{6}} \right)
$$

Đáp số: 
$$
m(\Delta, (\alpha)) = \arcsin \left( \frac{1}{7\sqrt{6}} \right)
$$