Giải giúp tôi

thought

Chào em, đây là lời giải chi tiết cho bài toán tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ trong không gian $Oxyz$:

1. Tìm tọa độ điểm $M$ (Trung điểm của $AB$)

Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ là:

$M \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right)$

Thay tọa độ $A(1; 0; 0)$ và $B(0; 1; 0)$ vào ta có:

$M \left( \frac{1 + 0}{2}; \frac{0 + 1}{2}; \frac{0 + 0}{2} \right) \Rightarrow M \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0 \right)$

2. Tìm tọa độ điểm $N$ (Trung điểm của $CD$)

Lưu ý: Đề bài ghi $D..$ có thể hiểu là đoạn $CD$.

Thay tọa độ $C(0; 0; 1)$ và $D(1; 1; 1)$ vào công thức trung điểm:

$N \left( \frac{0 + 1}{2}; \frac{0 + 1}{2}; \frac{1 + 1}{2} \right) \Rightarrow N \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1 \right)$

3. Tìm tọa độ điểm $I$ (Trung điểm của $MN$)

Tiếp tục áp dụng công thức trung điểm cho hai điểm $M \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0 \right)$ và $N \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1 \right)$:

$x_I = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$y_I = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$z_I = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$

Vậy tọa độ điểm $I$ là $I \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right)$.

Kết luận:

Đối chiếu với các phương án lựa chọn:

Đáp án đúng là: B. $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}).$

Mẹo nhanh: Điểm $I$ trong bài toán này thực chất chính là trọng tâm của tứ diện $ABCD$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện được tính bằng trung bình cộng tọa độ của cả 4 đỉnh:

$G = \left( \frac{1+0+0+1}{4}; \frac{0+1+0+1}{4}; \frac{0+0+1+1}{4} \right) = \left( \frac{2}{4}; \frac{2}{4}; \frac{2}{4} \right) = \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right).$