Giúp em với ạ

Câu 9: Để tìm một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho, ta cần sử dụng tích có hướng (hay còn gọi là tích vector) của hai vectơ đó. Giả sử hai vectơ cần xét là \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\). Bước 1: Xác định hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\). Giả sử \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) và \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\). Bước 2: Tính tích có hướng \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\). Công thức tính tích có hướng là: \[ \vec{n} = \left( u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1 \right) \] Bước 3: Áp dụng công thức cho từng cặp vectơ trong các đáp án để tìm vectơ \(\vec{n}\). - Đáp án A: \(\vec{u} = (2, 3, -1)\), \(\vec{v} = (2, -3, -1)\) \[ \vec{n} = \left( 3 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-3), (-1) \cdot 2 - 2 \cdot (-1), 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 2 \right) \] \[ = \left( -3 - 3, -2 + 2, -6 - 6 \right) = (-6, 0, -12) \] - Đáp án B: \(\vec{u} = (3, 5, -2)\), \(\vec{v} = (2, -3, -1)\) \[ \vec{n} = \left( 5 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-3), (-2) \cdot 2 - 3 \cdot (-1), 3 \cdot (-3) - 5 \cdot 2 \right) \] \[ = \left( -5 - 6, -4 + 3, -9 - 10 \right) = (-11, -1, -19) \] - Đáp án C: \(\vec{u} = (3, -5, -1)\), \(\vec{v} = (2, -3, -1)\) \[ \vec{n} = \left( -5 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-3), (-1) \cdot 2 - 3 \cdot (-1), 3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 2 \right) \] \[ = \left( 5 - 3, -2 + 3, -9 + 10 \right) = (2, 1, 1) \] Bước 4: Kiểm tra kết quả. Vectơ \(\vec{n} = (2, 1, 1)\) là vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\vec{u} = (3, -5, -1)\) và \(\vec{v} = (2, -3, -1)\). Do đó, đáp án đúng là C. Câu 10: Để xác định mệnh đề sai, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime} \] Trong hình hộp, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A^\prime B^\prime}\) và \(\overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{BC}\). Vậy: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{A^\prime B^\prime} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime} \] Mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} + \overrightarrow{AA} \] Trong hình hộp, \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B^\prime D^\prime}\), \(\overrightarrow{C^\prime D^\prime} = \overrightarrow{CD}\), và \(\overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{BC}\). Do đó: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B^\prime D^\prime} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{B^\prime C^\prime} + \overrightarrow{C^\prime D^\prime} \] Mệnh đề B là đúng. Mệnh đề C: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0} \] Xét các vector trong hình hộp: - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A^\prime B^\prime}\) - \(\overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{BC}\) - \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{C^\prime D^\prime}\) Tổng của ba vector này không thể bằng \(\overrightarrow{0}\) vì chúng không tạo thành một vòng kín trong không gian. Do đó, mệnh đề C là sai. Mệnh đề D: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^2} \] Trong hình hộp, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\), và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). Không có vector \(\overrightarrow{AA^2}\) trong hình hộp. Do đó, mệnh đề D là sai. Tuy nhiên, mệnh đề D không có ý nghĩa rõ ràng trong ngữ cảnh hình học của hình hộp, nhưng mệnh đề C rõ ràng là sai vì tổng ba vector không thể bằng \(\overrightarrow{0}\). Vậy, mệnh đề sai là mệnh đề \(\textcircled{C}\). Câu 11: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong khoảng của mỗi nhóm. - Nhóm [14:15): Giá trị nhỏ nhất là 14, giá trị lớn nhất là 15. - Nhóm [15:16): Giá trị nhỏ nhất là 15, giá trị lớn nhất là 16. - Nhóm [16:17): Giá trị nhỏ nhất là 16, giá trị lớn nhất là 17. - Nhóm [17:18): Giá trị nhỏ nhất là 17, giá trị lớn nhất là 18. - Nhóm [18:19): Giá trị nhỏ nhất là 18, giá trị lớn nhất là 19. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là: \[ 19 - 14 = 5 \] Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần chọn đáp án từ các lựa chọn đã cho. Vì vậy, chúng ta sẽ kiểm tra lại các lựa chọn: A. 6 B. 4 C. 5 D. 3 Rõ ràng, khoảng biến thiên thực tế là 5, nhưng không có lựa chọn nào đúng. Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét khoảng biến thiên giữa các nhóm liền kề, chúng ta sẽ thấy rằng: - Khoảng biến thiên giữa nhóm [14:15) và [15:16) là 1. - Khoảng biến thiên giữa nhóm [15:16) và [16:17) là 1. - Khoảng biến thiên giữa nhóm [16:17) và [17:18) là 1. - Khoảng biến thiên giữa nhóm [17:18) và [18:19) là 1. Như vậy, tổng khoảng biến thiên giữa các nhóm liền kề là: \[ 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \] Do đó, đáp án đúng là: B. 4 Câu 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định và kiểm tra xem các đường thẳng có đồng phẳng hay không. Trước tiên, ta cần hiểu rõ vị trí của các điểm và các đường thẳng trong hình hộp ABCD.EFGH: 1. Hình hộp ABCD.EFGH: - ABCD là mặt đáy dưới. - EFGH là mặt đáy trên. - Các cạnh bên là AE, BF, CG, DH. 2. Tâm của hình bình hành: - I là tâm của hình bình hành ABEF, do đó I là trung điểm của đoạn nối hai đường chéo AE và BF. - K là tâm của hình bình hành BCGF, do đó K là trung điểm của đoạn nối hai đường chéo BF và CG. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: A. BD, EK, GF đồng phẳng. - BD là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - EK là đoạn nối từ E đến K, với K nằm trên mặt phẳng BCGF. - GF là cạnh của mặt phẳng EFGH. Để ba đường thẳng đồng phẳng, chúng phải cùng nằm trong một mặt phẳng. Tuy nhiên, BD nằm trong mặt phẳng ABCD, trong khi EK và GF không nằm trong cùng một mặt phẳng với BD. Do đó, khẳng định này sai. B. BD, TK, GF đồng phẳng. - BD là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - TK không được định nghĩa trong bài toán, nên khẳng định này không thể kiểm tra được. Do đó, khẳng định này không hợp lệ. C. BD, IK, GC đồng phẳng. - BD là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - IK là đoạn nối từ I đến K, với I và K lần lượt là trung điểm của AE và CG. - GC là cạnh của mặt phẳng BCGF. Để ba đường thẳng đồng phẳng, chúng phải cùng nằm trong một mặt phẳng. Tuy nhiên, BD nằm trong mặt phẳng ABCD, trong khi IK và GC không nằm trong cùng một mặt phẳng với BD. Do đó, khẳng định này sai. D. BD, AK, GF đồng phẳng. - BD là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - AK là đoạn nối từ A đến K, với K là trung điểm của BF và CG. - GF là cạnh của mặt phẳng EFGH. Để ba đường thẳng đồng phẳng, chúng phải cùng nằm trong một mặt phẳng. Tuy nhiên, BD nằm trong mặt phẳng ABCD, trong khi AK và GF không nằm trong cùng một mặt phẳng với BD. Do đó, khẳng định này sai. Kết luận: Không có khẳng định nào trong các khẳng định đã cho là đúng. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. Phân tích bài toán: 1. Thông tin ban đầu: - Ô tô cách điểm nhập làn 200m, tốc độ ban đầu là 36 km/h = 10 m/s. - Ô tô bắt đầu tăng tốc sau 2 giây. - Quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m. - Vận tốc tại thời điểm nhập làn là 72 km/h = 20 m/s. - Ô tô duy trì sự tăng tốc trong 24 giây. 2. Yêu cầu: - Tìm các thông số của chuyển động (gia tốc, vận tốc, quãng đường) và kiểm tra các điều kiện đã cho. Giải quyết từng phần: a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m. - Phân tích: - Ô tô bắt đầu tăng tốc sau 2 giây, tức là từ giây thứ 2 đến giây thứ 14 (vì nhập làn sau 12 giây từ khi bắt đầu tăng tốc). - Quãng đường đi được trong 12 giây tăng tốc là 180m. - Phương trình chuyển động: - Vận tốc tại thời điểm \( t \) giây sau khi bắt đầu tăng tốc: \( v(t) = at + b \). - Quãng đường đi được từ \( t = 0 \) đến \( t = 12 \) là: \[ s = \int_0^{12} v(t) \, dt = \int_0^{12} (at + b) \, dt = \left[ \frac{1}{2}at^2 + bt \right]_0^{12} \] - Thay \( s = 180 \): \[ \frac{1}{2}a(12)^2 + b(12) = 180 \] \[ 72a + 12b = 180 \] \[ 6a + b = 15 \quad \text{(1)} \] b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 72 km/h. - Phân tích: - Vận tốc tại thời điểm \( t = 12 \) giây là 20 m/s. - Từ phương trình vận tốc: \( v(12) = a(12) + b = 20 \). - Thay vào phương trình: \[ 12a + b = 20 \quad \text{(2)} \] - Giải hệ phương trình (1) và (2): - Từ (1): \( b = 15 - 6a \). - Thay vào (2): \[ 12a + (15 - 6a) = 20 \] \[ 6a + 15 = 20 \] \[ 6a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{6} \] - Thay \( a = \frac{5}{6} \) vào (1): \[ 6 \times \frac{5}{6} + b = 15 \] \[ 5 + b = 15 \Rightarrow b = 10 \] c) Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 620m. - Phân tích: - Từ giây thứ 2 đến giây thứ 26 (24 giây tăng tốc), ô tô tăng tốc. - Từ giây thứ 26 đến giây thứ 30, ô tô duy trì vận tốc cao nhất. - Tính quãng đường: - Quãng đường trong 24 giây tăng tốc: \[ s_1 = \int_0^{24} \left(\frac{5}{6}t + 10\right) \, dt = \left[ \frac{5}{12}t^2 + 10t \right]_0^{24} \] \[ s_1 = \frac{5}{12}(24)^2 + 10(24) = 240 + 240 = 480 \, \text{m} \] - Vận tốc cao nhất sau 24 giây: \( v(24) = \frac{5}{6}(24) + 10 = 30 \, \text{m/s} \). - Quãng đường trong 4 giây tiếp theo: \[ s_2 = 30 \times 4 = 120 \, \text{m} \] - Tổng quãng đường: \[ s_{\text{total}} = 20 + 480 + 120 = 620 \, \text{m} \] d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5 giây thì phát hiện chướng ngại vật cách đó 300m, người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với \( a(t) = -3 \, \text{m/s}^2 \). Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngại vật 10m. - Phân tích: - Vận tốc ban đầu khi phanh: \( v_0 = 30 \, \text{m/s} \). - Quãng đường cần dừng lại: \( 300 - 10 = 290 \, \text{m} \). - Phương trình chuyển động chậm dần đều: - Sử dụng công thức: \( v^2 = v_0^2 + 2a s \). - Thay \( v = 0 \), \( a = -3 \), \( s = 290 \): \[ 0 = 30^2 + 2(-3)(290) \] \[ 0 = 900 - 1740 \] \[ 1740 = 900 \quad \text{(mâu thuẫn)} \] - Kết luận: - Có thể có sai sót trong dữ liệu hoặc cách tính toán. Cần kiểm tra lại các bước hoặc dữ liệu đầu vào. Kết luận: Bài toán đã được giải quyết từng phần với các bước lập luận chi tiết. Tuy nhiên, phần cuối có thể cần kiểm tra lại dữ liệu hoặc cách tính toán để đảm bảo tính chính xác. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA})\) Ta có: - \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CA}\) là hai vectơ đối nhau, do đó \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}) = 180^\circ\). b) Tính \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) với \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}\) 1. Xác định các vectơ: - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)\) - \(\overrightarrow{BC} = (0, a, 0)\) 2. Tính \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (a, 0, 0) + (0, a, 0) = (a, a, 0) \] 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (a, a, 0) \cdot (0, a, 0) = 0 \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot 0 = a^2 \] 4. Tính độ dài các vectơ: - \(|\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\) - \(|\overrightarrow{v}| = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a\) 5. Tính góc giữa \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\): Sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Do đó, \(\theta = 60^\circ\). Vậy, \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 60^\circ\).