Cứu tôi sốdidnfnncc

Câu 41: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính diện tích của tam giác và hình bình hành trong không gian Oxyz bằng cách sử dụng tích có hướng của các vectơ. Bài toán 1: Tính diện tích tam giác \(ABC\) Cho tam giác \(A(2;0;0)\), \(B(0;3;0)\), \(C(0;0;4)\). 1. Tính các vectơ cạnh của tam giác: - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2; 3 - 0; 0 - 0) = (-2; 3; 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 2; 0 - 0; 4 - 0) = (-2; 0; 4)\). 2. Tính tích có hướng \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-2 \cdot 4 - 0 \cdot -2) + \mathbf{k}(-2 \cdot 0 - 3 \cdot -2) \] \[ = 12\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 6\mathbf{k} \] 3. Tính độ dài của tích có hướng: \[ \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 64 + 36} = \sqrt{244} \] 4. Tính diện tích tam giác \(ABC\): \[ S = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{\sqrt{61}}{2} \] Vậy, diện tích tam giác \(ABC\) là \(\frac{\sqrt{61}}{2}\). Bài toán 2: Tính diện tích hình bình hành \(ABCD\) Cho hình bình hành \(ABCD\) với \(A(2;1;-3)\), \(B(0;-2;5)\), \(C(1;1;3)\). 1. Tính các vectơ cạnh của hình bình hành: - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2; -2 - 1; 5 + 3) = (-2; -3; 8)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2; 1 - 1; 3 + 3) = (-1; 0; 6)\). 2. Tính tích có hướng \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -3 & 8 \\ -1 & 0 & 6 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-3 \cdot 6 - 0 \cdot 8) - \mathbf{j}(-2 \cdot 6 - 8 \cdot -1) + \mathbf{k}(-2 \cdot 0 - (-3) \cdot -1) \] \[ = (-18)\mathbf{i} + (12 - 8)\mathbf{j} + (-3)\mathbf{k} = -18\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] 3. Tính độ dài của tích có hướng: \[ \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{(-18)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{324 + 16 + 9} = \sqrt{349} \] 4. Tính diện tích hình bình hành \(ABCD\): \[ S = \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{349} \] Vậy, diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \(\sqrt{349}\). Kết quả cuối cùng: - Diện tích tam giác \(ABC\) là \(\frac{\sqrt{61}}{2}\). - Diện tích hình bình hành \(ABCD\) là \(\sqrt{349}\). Câu 45: Để tính diện tích tam giác \(OAB\) trong không gian \(Oxyz\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính các vector \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\): - Vector \(\overrightarrow{OA} = (1, 2, -1)\). - Vector \(\overrightarrow{OB} = (0, -2, 3)\). 2. Tính vector tích \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\): Vector tích \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\) được tính bằng định thức: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 3 \\ \end{vmatrix} \] Tính định thức: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \mathbf{i}(2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(6 - 2) - \mathbf{j}(3 - 0) + \mathbf{k}(-2 - 0) \] \[ = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \] Vậy, \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (4, -3, -2)\). 3. Tính độ dài của vector tích \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\): \[ \|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \] 4. Tính diện tích tam giác \(OAB\): Diện tích tam giác \(OAB\) được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}\| = \frac{1}{2} \sqrt{29} \] Vậy, diện tích tam giác \(OAB\) là \(\frac{\sqrt{29}}{2}\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~\frac{\sqrt{29}}{2}\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ các vectơ đã cho và các khái niệm liên quan. Phân tích các vectơ đã cho: - Vectơ \(\vec{a} = (-k; k; 0)\) - Vectơ \(\vec{b} = (k; k; 0)\) - Vectơ \(\vec{c} = (k_c = (k_{L_1})\) (có vẻ như có lỗi đánh máy ở đây, nhưng chúng ta sẽ giả định \(\vec{c} = (k_c; 0; 0)\) để tiếp tục phân tích) Mệnh đề a) Chúng ta cần thêm thông tin để xác định mệnh đề này, vì không có thông tin cụ thể nào được cung cấp. Mệnh đề b) $Fl=\sqrt3$ Giả sử \(Fl\) là độ dài của một vectơ nào đó, nhưng không có vectơ nào được ký hiệu là \(Fl\) trong đề bài. Do đó, không thể xác định tính đúng sai của mệnh đề này mà không có thêm thông tin. Mệnh đề c) $\Box$ Ký hiệu \(\Box\) không rõ ràng trong ngữ cảnh này. Cần thêm thông tin để xác định ý nghĩa của ký hiệu này. Mệnh đề d) "cos(a, c)= " Để tính \(\cos(\vec{a}, \vec{c})\), chúng ta sử dụng công thức: \[ \cos(\vec{a}, \vec{c}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{c}\|} \] - Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{c} = (-k) \cdot k_c + k \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -k \cdot k_c\) - Độ dài \(\|\vec{a}\| = \sqrt{(-k)^2 + k^2 + 0^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}\) - Độ dài \(\|\vec{c}\| = \sqrt{k_c^2 + 0^2 + 0^2} = |k_c|\) Vậy: \[ \cos(\vec{a}, \vec{c}) = \frac{-k \cdot k_c}{k\sqrt{2} \cdot |k_c|} = \frac{-k_c}{\sqrt{2} \cdot |k_c|} \] Nếu \(k_c \neq 0\), thì: \[ \cos(\vec{a}, \vec{c}) = \frac{-1}{\sqrt{2}} \] Kết luận: - Mệnh đề a) không thể xác định do thiếu thông tin. - Mệnh đề b) không thể xác định do thiếu thông tin. - Mệnh đề c) không thể xác định do thiếu thông tin. - Mệnh đề d) đúng nếu \(k_c \neq 0\), với \(\cos(\vec{a}, \vec{c}) = \frac{-1}{\sqrt{2}}\). Vui lòng cung cấp thêm thông tin hoặc làm rõ các ký hiệu để có thể đưa ra kết luận chính xác hơn. Câu 3: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề đã cho, ta cần thực hiện các phép tính liên quan đến các vectơ và các biểu thức đã cho. Dưới đây là từng bước lập luận cho từng mệnh đề: Mệnh đề a) Mệnh đề này có vẻ không rõ ràng do định dạng không chính xác. Tuy nhiên, nếu giả sử mệnh đề này liên quan đến một biểu thức vectơ hoặc phương trình nào đó, ta cần có thông tin rõ ràng hơn để đánh giá. Mệnh đề b) Xét biểu thức $z = 2a + 3b + 3$. - Tính $2a$: \[ 2a = 2 \cdot (3, -2, 1) = (6, -4, 2) \] - Tính $3b$: \[ 3b = 3 \cdot (-1, b, -2) = (-3, 3b, -6) \] - Cộng các vectơ và số hạng: \[ z = (6, -4, 2) + (-3, 3b, -6) + (0, 0, 3) = (3, 3b - 4, -1) \] Mệnh đề này không có điều kiện cụ thể để xác định tính đúng sai, vì vậy cần thêm thông tin hoặc điều kiện để đánh giá. Mệnh đề c) Xét biểu thức $\overrightarrow{h} = 2a - 3b + 3$. - Tính $2a$: \[ 2a = 2 \cdot (3, -2, 1) = (6, -4, 2) \] - Tính $-3b$: \[ -3b = -3 \cdot (-1, b, -2) = (3, -3b, 6) \] - Cộng các vectơ và số hạng: \[ \overrightarrow{h} = (6, -4, 2) + (3, -3b, 6) + (0, 0, 3) = (9, -3b - 4, 11) \] Mệnh đề này cũng không có điều kiện cụ thể để xác định tính đúng sai, vì vậy cần thêm thông tin hoặc điều kiện để đánh giá. Mệnh đề d) Xét phương trình $m = 3a - 2b - 2c$. - Tính $3a$: \[ 3a = 3 \cdot (3, -2, 1) = (9, -6, 3) \] - Tính $-2b$: \[ -2b = -2 \cdot (-1, b, -2) = (2, -2b, 4) \] - Tính $-2c$: \[ -2c = -2 \cdot (2, b, -3) = (-4, -2b, 6) \] - Cộng các vectơ: \[ 3a - 2b - 2c = (9, -6, 3) + (2, -2b, 4) + (-4, -2b, 6) = (7, -6 - 4b, 13) \] So sánh với $m = (7, -10, 12)$, ta thấy: - Thành phần $x$: $7 = 7$ (đúng) - Thành phần $y$: $-6 - 4b = -10 \Rightarrow 4b = 4 \Rightarrow b = 1$ - Thành phần $z$: $13 \neq 12$ (sai) Vậy mệnh đề d) là Sai. Tóm lại, chỉ có mệnh đề d) có thể xác định là Sai với điều kiện $b = 1$. Các mệnh đề khác cần thêm thông tin hoặc điều kiện để đánh giá. Câu 4: Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hai vectơ \(\widehat{a} = (2; -2; -4)\) và \(\widehat{b} = (1; -1; 1)\), ta cần kiểm tra một số tính chất cơ bản của vectơ như tích vô hướng, tích có hướng, độ dài vectơ, v.v. 1. Kiểm tra tích vô hướng \(\widehat{a} \cdot \widehat{b}\): Tích vô hướng của hai vectơ \(\widehat{a}\) và \(\widehat{b}\) được tính bằng: \[ \widehat{a} \cdot \widehat{b} = 2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-4) \cdot 1 = 2 + 2 - 4 = 0 \] Vậy \(\widehat{a}\) và \(\widehat{b}\) vuông góc với nhau. 2. Kiểm tra tích có hướng \(\widehat{a} \times \widehat{b}\): Tích có hướng của hai vectơ \(\widehat{a}\) và \(\widehat{b}\) là: \[ \widehat{a} \times \widehat{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}((-2) \cdot 1 - (-4) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - (-4) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - (-2) \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(-2 - 4) - \mathbf{j}(2 + 4) + \mathbf{k}(-2 + 2) \] \[ = -6\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 0\mathbf{k} \] \[ = (-6; -6; 0) \] 3. Kiểm tra độ dài của vectơ \(\widehat{a}\) và \(\widehat{b}\): Độ dài của vectơ \(\widehat{a}\) là: \[ |\widehat{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] Độ dài của vectơ \(\widehat{b}\) là: \[ |\widehat{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] Dựa vào các tính toán trên, ta có thể xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hai vectơ \(\widehat{a}\) và \(\widehat{b}\). Nếu có mệnh đề cụ thể nào cần kiểm tra, bạn có thể cung cấp để tôi giúp bạn xác định tính đúng sai của nó.