Giúp mình với ạ

Câu 9. Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho \(F(x) = a \sin x + b \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5 \cos x + 7 \sin x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = \frac{d}{dx} (a \sin x + b \cos x) \] \[ F'(x) = a \cos x - b \sin x \] 2. So sánh đạo hàm của \(F(x)\) với \(f(x)\): \[ F'(x) = f(x) \] \[ a \cos x - b \sin x = 5 \cos x + 7 \sin x \] 3. So sánh hệ số của \(\cos x\) và \(\sin x\) từ hai vế: - Hệ số của \(\cos x\): \[ a = 5 \] - Hệ số của \(\sin x\): \[ -b = 7 \] \[ b = -7 \] 4. Tính \(a + b\): \[ a + b = 5 + (-7) = -2 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là \(-2\). Đáp số: \(-2\) Câu 10. Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho \(F(x) = a \tan x + b \cot x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{3}{\cos^2 x} + \frac{11}{\sin^2 x}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(a \tan x + b \cot x) \] 2. Áp dụng công thức đạo hàm: \[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \] \[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} \] Do đó: \[ F'(x) = a \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + b \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) \] \[ F'(x) = \frac{a}{\cos^2 x} - \frac{b}{\sin^2 x} \] 3. So sánh với \(f(x)\): \[ f(x) = \frac{3}{\cos^2 x} + \frac{11}{\sin^2 x} \] Để \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\), ta cần: \[ \frac{a}{\cos^2 x} - \frac{b}{\sin^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x} + \frac{11}{\sin^2 x} \] 4. So sánh hệ số tương ứng: \[ \frac{a}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x} \Rightarrow a = 3 \] \[ -\frac{b}{\sin^2 x} = \frac{11}{\sin^2 x} \Rightarrow -b = 11 \Rightarrow b = -11 \] 5. Tính \(a + b\): \[ a + b = 3 + (-11) = -8 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là \(-8\). Đáp số: \(-8\) Câu 11. Để tìm giá trị của \(a + b\) trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(ax + b \sin x) = a + b \cos x \] 2. So sánh đạo hàm của \(F(x)\) với \(f(x)\): \[ F'(x) = f(x) \] Do đó: \[ a + b \cos x = 2026 - 2 \sin^2 \frac{x}{2} \] 3. Sử dụng công thức biến đổi góc nửa: \[ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \] Thay vào biểu thức của \(f(x)\): \[ 2026 - 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2026 - 2 \left( \frac{1 - \cos x}{2} \right) = 2026 - (1 - \cos x) = 2025 + \cos x \] 4. So sánh hai biểu thức: \[ a + b \cos x = 2025 + \cos x \] Để hai biểu thức này bằng nhau, ta cần: \[ a = 2025 \quad \text{và} \quad b = 1 \] 5. Tính giá trị của \(a + b\): \[ a + b = 2025 + 1 = 2026 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là: \[ \boxed{2026} \] Câu 12. Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) trong biểu thức \(F(x) = ax + b \sin x\), ta cần biết rằng \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2025 + 2 \cos^2 \frac{x}{2}\). Bước 1: Tính đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = a + b \cos x \] Bước 2: Biết rằng \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\), nên: \[ F'(x) = f(x) \] \[ a + b \cos x = 2025 + 2 \cos^2 \frac{x}{2} \] Bước 3: Ta cần biến đổi biểu thức \(2 \cos^2 \frac{x}{2}\) về dạng liên quan đến \(\cos x\). Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \] Do đó: \[ 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 1 + \cos x \] Bước 4: Thay vào phương trình: \[ a + b \cos x = 2025 + 1 + \cos x \] \[ a + b \cos x = 2026 + \cos x \] Bước 5: So sánh hai vế của phương trình: \[ a = 2026 \] \[ b = 1 \] Bước 6: Tính giá trị của \(a + b\): \[ a + b = 2026 + 1 = 2027 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là: \[ \boxed{2027} \] Câu 13. Để tìm giá trị của \(3a + b\), chúng ta cần xác định các hệ số \(a\) và \(b\) trong nguyên hàm \(F(x)\). Bước 1: Xác định đạo hàm của \(F(x)\): \[ F(x) = a \cos 3x + b \sin \frac{x}{9} \] Tính đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = -3a \sin 3x + \frac{b}{9} \cos \frac{x}{9} \] Bước 2: So sánh đạo hàm của \(F(x)\) với hàm số \(f(x)\): \[ f(x) = \sin 3x + \cos \frac{x}{9} \] Do đó: \[ -3a \sin 3x + \frac{b}{9} \cos \frac{x}{9} = \sin 3x + \cos \frac{x}{9} \] Bước 3: So sánh các hệ số tương ứng: - Hệ số của \(\sin 3x\): \[ -3a = 1 \] \[ a = -\frac{1}{3} \] - Hệ số của \(\cos \frac{x}{9}\): \[ \frac{b}{9} = 1 \] \[ b = 9 \] Bước 4: Tính giá trị của \(3a + b\): \[ 3a + b = 3 \left( -\frac{1}{3} \right) + 9 \] \[ 3a + b = -1 + 9 \] \[ 3a + b = 8 \] Vậy giá trị của \(3a + b\) là: \[ \boxed{8} \] Câu 14. Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = 6\sin x - 3\cos x$. Ta có: \[ F(x) = \int (6\sin x - 3\cos x) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 6\sin x \, dx = -6\cos x + C_1 \] \[ \int -3\cos x \, dx = -3\sin x + C_2 \] Vậy: \[ F(x) = -6\cos x - 3\sin x + C \] Biết rằng $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2025$, ta thay vào để tìm hằng số $C$: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -6\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 2025 \] Ta biết $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ và $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, nên: \[ -6 \cdot 0 - 3 \cdot 1 + C = 2025 \] \[ -3 + C = 2025 \] \[ C = 2028 \] Do đó, $F(x)$ là: \[ F(x) = -6\cos x - 3\sin x + 2028 \] Bây giờ, ta cần tính $F\left(-\frac{\pi}{2}\right)$: \[ F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -6\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 2028 \] Ta biết $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ và $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, nên: \[ F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -6 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) + 2028 \] \[ F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 + 3 + 2028 \] \[ F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2031 \] Vậy, $F\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2031$.