giúp em với ạ

Câu 25. Để tìm biểu thức của hàm số \( f(x) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): - Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \( M(x; f(x)) \) là \( k_H = (x-1)^2 \). - Do đó, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là \( f'(x) = (x-1)^2 \). 2. Tìm nguyên hàm của đạo hàm để xác định hàm số \( f(x) \): - Ta có \( f'(x) = (x-1)^2 \). - Nguyên hàm của \( (x-1)^2 \) là: \[ f(x) = \int (x-1)^2 \, dx \] \[ f(x) = \int (x^2 - 2x + 1) \, dx \] \[ f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C \] 3. Xác định hằng số \( C \): - Theo đề bài, điểm \( M \) trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung, tức là \( f(0) = 0 \). - Thay \( x = 0 \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 + C = 0 \] \[ C = 0 \] 4. Viết biểu thức cuối cùng của hàm số \( f(x) \): - Vậy biểu thức của hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x \] Đáp số: \( f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x \) Câu 26. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tìm vị trí của viên đạn theo thời gian. a) Tìm độ cao của viên đạn sau 5 giây: Vận tốc của viên đạn được cho bởi: \[ v(t) = 160 - 9,8t \] Vị trí của viên đạn theo thời gian \( s(t) \) có thể tìm bằng cách tích phân vận tốc: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (160 - 9,8t) \, dt \] \[ s(t) = 160t - 4,9t^2 + C \] Vì ban đầu (t = 0), viên đạn ở mặt đất nên \( s(0) = 0 \). Do đó, hằng số \( C = 0 \). Vậy: \[ s(t) = 160t - 4,9t^2 \] Sau 5 giây, độ cao của viên đạn là: \[ s(5) = 160 \cdot 5 - 4,9 \cdot 5^2 \] \[ s(5) = 800 - 4,9 \cdot 25 \] \[ s(5) = 800 - 122,5 \] \[ s(5) = 677,5 \, \text{m} \] b) Tìm độ cao lớn nhất của viên đạn: Độ cao lớn nhất xảy ra khi vận tốc của viên đạn bằng 0. Ta giải phương trình: \[ v(t) = 160 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 160 \] \[ t = \frac{160}{9,8} \approx 16,33 \, \text{s} \] Thay \( t = 16,33 \) vào phương trình vị trí: \[ s(16,33) = 160 \cdot 16,33 - 4,9 \cdot (16,33)^2 \] \[ s(16,33) = 2612,8 - 4,9 \cdot 266,67 \] \[ s(16,33) = 2612,8 - 1306,68 \] \[ s(16,33) \approx 1306,1 \, \text{m} \] Vậy độ cao lớn nhất của viên đạn là khoảng 1306,1 m. Đáp số: a) Sau 5 giây, độ cao của viên đạn là 677,5 m. b) Độ cao lớn nhất của viên đạn là 1306,1 m. Câu 27. Để tìm chu kì bán thải \( T_1 \) của thuốc, chúng ta cần xác định thời gian \( t \) sao cho lượng thuốc giảm đi một nửa so với ban đầu. Bước 1: Xác định phương trình chuyển hóa thuốc. Theo đề bài, tốc độ chuyển hóa thuốc được cho bởi: \[ N'(t) = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} \] Trong đó: - \( N_0 \) là lượng thuốc ban đầu tại \( t = 0 \), - \( \lambda > 0 \) là hằng số hấp thụ. Bước 2: Giải phương trình vi phân để tìm \( N(t) \). Phương trình vi phân \( N'(t) = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} \) là một phương trình vi phân tuyến tính đơn giản. Ta có thể giải nó bằng cách tích phân trực tiếp: \[ N(t) = \int N'(t) \, dt = \int -\lambda N_0 e^{-\lambda t} \, dt \] Tích phân bên phải: \[ N(t) = -N_0 \int \lambda e^{-\lambda t} \, dt \] \[ N(t) = -N_0 \left( -e^{-\lambda t} \right) + C \] \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} + C \] Vì \( N(0) = N_0 \), ta có: \[ N_0 = N_0 e^{0} + C \] \[ N_0 = N_0 + C \] \[ C = 0 \] Do đó, hàm lượng thuốc theo thời gian là: \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \] Bước 3: Xác định chu kì bán thải \( T_1 \). Chu kì bán thải \( T_1 \) là thời gian để lượng thuốc giảm đi một nửa so với ban đầu. Do đó, ta cần tìm \( t \) sao cho: \[ N(T_1) = \frac{N_0}{2} \] Thay vào phương trình \( N(t) \): \[ \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_1} \] Chia cả hai vế cho \( N_0 \): \[ \frac{1}{2} = e^{-\lambda T_1} \] Lấy logarith tự nhiên của cả hai vế: \[ \ln \left( \frac{1}{2} \right) = \ln \left( e^{-\lambda T_1} \right) \] \[ \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -\lambda T_1 \] Biến đổi: \[ -\ln 2 = -\lambda T_1 \] \[ T_1 = \frac{\ln 2}{\lambda} \] Vậy chu kì bán thải \( T_1 \) của thuốc là: \[ T_1 = \frac{\ln 2}{\lambda} \] Câu 28. a) Ta có: $h'(t)=v(t)=-0,12t^2+1,2t.$ Lấy $t=0$ ta có $h(0)=520.$ Do đó $h(t)=-0,04t^3+0,6t^2+520.$ b) Ta có: $h'(t)=-0,12t^2+1,2t=0\Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=10.$ Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy $h(10)=560>h(0)=520.$ Vậy độ cao lớn nhất của khinh khí cầu là 560m. c) Ta có: $h(t)=520\Leftrightarrow -0,04t^3+0,6t^2=0\Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=15.$ Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu trở lại độ cao ban đầu. Câu 29. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm số lượng vi khuẩn HP trong dạ dày của bệnh nhân sau 15 ngày. Biết rằng $F'(t) = \frac{600}{t}$ và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm $F(t)$ từ $F'(t)$: Ta có: \[ F'(t) = \frac{600}{t} \] Để tìm $F(t)$, ta tích phân $F'(t)$: \[ F(t) = \int \frac{600}{t} \, dt = 600 \ln |t| + C \] 2. Xác định hằng số $C$: Biết rằng ban đầu (t = 1) bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn, tức là $F(1) = 2000$. Thay vào phương trình: \[ 2000 = 600 \ln |1| + C \] Vì $\ln |1| = 0$, nên: \[ 2000 = C \] Vậy: \[ F(t) = 600 \ln |t| + 2000 \] 3. Tính số lượng vi khuẩn sau 15 ngày: Thay $t = 15$ vào phương trình $F(t)$: \[ F(15) = 600 \ln |15| + 2000 \] Tính $\ln |15|$: \[ \ln |15| \approx 2.708 \] Do đó: \[ F(15) = 600 \times 2.708 + 2000 \approx 1624.8 + 2000 = 3624.8 \] 4. Kiểm tra điều kiện cứu chữa: Số lượng vi khuẩn sau 15 ngày là khoảng 3624.8 con, nhỏ hơn 4000 con. Do đó, bệnh nhân vẫn có thể được cứu chữa. Kết luận: Sau 15 ngày, số lượng vi khuẩn trong dạ dày của bệnh nhân là khoảng 3624.8 con. Bệnh nhân vẫn có thể được cứu chữa vì số lượng vi khuẩn chưa vượt quá 4000 con. Câu 30. a) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu giây? Để tìm thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ta cần tìm thời điểm mà vận tốc của ô tô bằng 0. \[ \nu(t) = -10t + 20 = 0 \] Giải phương trình: \[ -10t + 20 = 0 \\ -10t = -20 \\ t = 2 \text{ (giây)} \] Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 2 giây. b) Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? Xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không? Quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) kể từ lúc đạp phanh là: \[ s(t) = \int_{0}^{t} \nu(\tau) \, d\tau = \int_{0}^{t} (-10\tau + 20) \, d\tau \] Tính tích phân: \[ s(t) = \left[ -5\tau^2 + 20\tau \right]_{0}^{t} = -5t^2 + 20t \] Thay \( t = 2 \): \[ s(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \text{ (mét)} \] Vậy từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được 20 mét. So sánh với khoảng cách đến chướng ngại vật: \[ 40 \text{ (mét)} > 20 \text{ (mét)} \] Vì quãng đường xe ô tô đi được (20 mét) nhỏ hơn khoảng cách đến chướng ngại vật (40 mét), nên xe ô tô không gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật. c) Nếu người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh khẩn cấp thì xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không? Trước khi đạp phanh, ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h, tức là: \[ v_0 = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20 \text{ (m/s)} \] Trong 1 giây đầu tiên, ô tô tiếp tục chạy với vận tốc ban đầu: \[ s_1 = v_0 \times 1 = 20 \times 1 = 20 \text{ (mét)} \] Sau 1 giây, người lái xe đạp phanh, vận tốc của ô tô bắt đầu giảm theo quy luật: \[ \nu(t) = -10t + 20 \] Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn vẫn là 2 giây, nhưng ta cần tính tổng quãng đường từ lúc nhìn thấy chướng ngại vật đến khi dừng hẳn: \[ s_{\text{tổng}} = s_1 + s(2) = 20 + 20 = 40 \text{ (mét)} \] So sánh với khoảng cách đến chướng ngại vật: \[ 40 \text{ (mét)} = 40 \text{ (mét)} \] Vì tổng quãng đường xe ô tô đi được (40 mét) bằng khoảng cách đến chướng ngại vật (40 mét), nên xe ô tô sẽ va chạm với chướng ngại vật. Đáp số: a) 2 giây b) 20 mét, không gặp tai nạn c) Gặp tai nạn