giúp t giải bài với $C.~\frac{\cos^4x.\sin x}4+C$ $D.~\frac-4(3)$,Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết $f(x)= an^2x.8+ an^2x=\frac1{\cos^2x}\Rightarrow an x-x+c$,$A.~\frac{ an^3x}3+C$ B. Đáp án khác $C.~Tanx-1+C$ $D.~\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x}+C$,Câu 90: Hàm số nào là nguyên hàm của $f(x)=\frac1{1+\sin x}:$,$A.~F(x)=1+\cot(\frac x2+\frac\pi4)$ $B.~F(x)=-\frac2{1+ an\frac x2}$,$C.~F(x)=\ln(1+\sin x)$ $D.~F(x)=2 an\frac x2$,Câu 91: Họ nguyên hàm của $f(x)=\sin^3x$,$A.~\cos x-\frac{\cos^3x}3+C$ $B.~-\cos x+\frac{\cos^3x}3+C$ $C.~-\cos x+\frac1{\cos x}+c$ $D.~\frac{\sin^4x}4+C$,Câu 92: Cho hàm số $f(x)=2\sin^2\frac x2$ Khi đó $\int f(x)dx$ bằng ?,$A.~x+\sin x+C$ $B.~x-\sin x+C$ $C.~x+\cos x+C$ $D.~x-\cos x+C$,Câu 93: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\cos x$ là:,$A.~2\cos x-\sin x+C$ $B.~2\cos x+\sin x+C$ $C.~-2\cos x-\sin x+C$ $D.~-2\cos x+\sin x+C$,Câu 94: Họ nguyên hàm của $\sin^2x$ là:,$A.~\frac12(x+2\cos2x)+C$ $B.~\frac12(x-\frac{\sin2x}2)$ $C.~\frac x2-\frac{\sin2x}4+C$ $D.~\frac12(x-2\cos2x)+C$,Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ là $-\frac19\cos2x$

Question

giúp t giải bài với $C.~\frac{\cos^4x.\sin x}4+C$ $D.~\frac-4(3)$,Câu 89: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết $f(x)=	an^2x.8+	an^2x=\frac1{\cos^2x}\Rightarrow	an x-x+c$,$A.~\frac{	an^3x}3+C$ B. Đáp án khác $C.~Tanx-1+C$ $D.~\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x}+C$,Câu 90: Hàm số nào là nguyên hàm của $f(x)=\frac1{1+\sin x}:$,$A.~F(x)=1+\cot(\frac x2+\frac\pi4)$ $B.~F(x)=-\frac2{1+	an\frac x2}$,$C.~F(x)=\ln(1+\sin x)$ $D.~F(x)=2	an\frac x2$,Câu 91: Họ nguyên hàm của $f(x)=\sin^3x$,$A.~\cos x-\frac{\cos^3x}3+C$ $B.~-\cos x+\frac{\cos^3x}3+C$ $C.~-\cos x+\frac1{\cos x}+c$ $D.~\frac{\sin^4x}4+C$,Câu 92: Cho hàm số $f(x)=2\sin^2\frac x2$ Khi đó $\int f(x)dx$ bằng ?,$A.~x+\sin x+C$ $B.~x-\sin x+C$ $C.~x+\cos x+C$ $D.~x-\cos x+C$,Câu 93: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\cos x$ là:,$A.~2\cos x-\sin x+C$ $B.~2\cos x+\sin x+C$ $C.~-2\cos x-\sin x+C$ $D.~-2\cos x+\sin x+C$,Câu 94: Họ nguyên hàm của $\sin^2x$ là:,$A.~\frac12(x+2\cos2x)+C$ $B.~\frac12(x-\frac{\sin2x}2)$ $C.~\frac x2-\frac{\sin2x}4+C$ $D.~\frac12(x-2\cos2x)+C$,Câu 95: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ là $-\frac19\cos2x$

Accepted Answer

Câu 89:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \tan^2 x $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $ \tan^2 x $.

Ta biết rằng:
$$ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $$

Do đó:
$$ \int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx $$

Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần.

$$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1 $$
$$ \int 1 \, dx = x + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp các kết quả trên.

$$ \int \tan^2 x \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx $$
$$ = \tan x - x + C $$

Vậy nguyên hàm của $ f(x) = \tan^2 x $ là:
$$ \boxed{\tan x - x + C} $$

Đáp án đúng là: D. $\frac{\sin x - x \cos x}{\cos x} + C$

Lưu ý rằng:
$$ \frac{\sin x - x \cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{x \cos x}{\cos x} = \tan x - x $$

Như vậy, đáp án D là đúng.

Câu 90:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{1 + \sin x} $, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án đã cho để xem hàm số nào có đạo hàm bằng $ f(x) $.

A. $ F(x) = 1 + \cot\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $

B. $ F(x) = -\frac{2}{1 + \tan\frac{x}{2}} $

C. $ F(x) = \ln(1 + \sin x) $

D. $ F(x) = 2\tan\frac{x}{2} $

Ta sẽ tính đạo hàm của mỗi hàm số này và so sánh với $ f(x) $:

1. Kiểm tra đáp án A:
$$ F(x) = 1 + \cot\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$
Tính đạo hàm:
$$ F'(x) = -\csc^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} $$
$$ F'(x) = -\frac{1}{2} \csc^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$

2. Kiểm tra đáp án B:
$$ F(x) = -\frac{2}{1 + \tan\frac{x}{2}} $$
Tính đạo hàm:
$$ F'(x) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2}\right) \cdot \frac{1}{2} \sec^2\frac{x}{2} $$
$$ F'(x) = \frac{\sec^2\frac{x}{2}}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2} $$
$$ F'(x) = \frac{1 + \tan^2\frac{x}{2}}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2} $$
$$ F'(x) = \frac{1 + \tan^2\frac{x}{2}}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2} = \frac{1}{1 + \sin x} $$

3. Kiểm tra đáp án C:
$$ F(x) = \ln(1 + \sin x) $$
Tính đạo hàm:
$$ F'(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x} $$

4. Kiểm tra đáp án D:
$$ F(x) = 2\tan\frac{x}{2} $$
Tính đạo hàm:
$$ F'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \sec^2\frac{x}{2} $$
$$ F'(x) = \sec^2\frac{x}{2} $$

So sánh các đạo hàm trên với $ f(x) = \frac{1}{1 + \sin x} $, ta thấy rằng chỉ có đạo hàm của đáp án B đúng bằng $ f(x) $.

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{B. F(x) = -\frac{2}{1 + \tan\frac{x}{2}}} $$

Câu 91:
Để tìm nguyên hàm của $ f(x) = \sin^3 x $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta viết lại $ \sin^3 x $ dưới dạng $ \sin x \cdot \sin^2 x $:
$$ \sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x $$

Bước 2: Ta sử dụng công thức $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:
$$ \sin^3 x = \sin x \cdot (1 - \cos^2 x) $$
$$ \sin^3 x = \sin x - \sin x \cos^2 x $$

Bước 3: Ta tính nguyên hàm từng phần:
$$ \int \sin^3 x \, dx = \int (\sin x - \sin x \cos^2 x) \, dx $$
$$ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \sin x \cos^2 x \, dx $$

Bước 4: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ:
$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 $$

Để tính $ \int \sin x \cos^2 x \, dx $, ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt $ u = \cos x $, thì $ du = -\sin x \, dx $ hoặc $ \sin x \, dx = -du $:
$$ \int \sin x \cos^2 x \, dx = \int u^2 (-du) = -\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C_2 = -\frac{\cos^3 x}{3} + C_2 $$

Bước 5: Kết hợp các kết quả trên:
$$ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C $$

Vậy, nguyên hàm của $ f(x) = \sin^3 x $ là:
$$ -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $ -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C $

Câu 92:
Để tính $\int f(x) \, dx$, ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}$.

Bước 1: Chuyển đổi biểu thức $2\sin^2\frac{x}{2}$ thành dạng dễ tích phân hơn bằng cách sử dụng công thức hạ bậc:
$$ 2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos x $$

Bước 2: Tính nguyên hàm của biểu thức đã chuyển đổi:
$$ \int f(x) \, dx = \int (1 - \cos x) \, dx $$

Bước 3: Tính nguyên hàm từng phần:
$$ \int (1 - \cos x) \, dx = \int 1 \, dx - \int \cos x \, dx $$
$$ = x - \sin x + C $$

Vậy, $\int f(x) \, dx = x - \sin x + C$.

Do đó, đáp án đúng là:
B. $x - \sin x + C$

Câu 93:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 2\sin x + \cos x $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng.

- Nguyên hàm của $ 2\sin x $:
$$ \int 2\sin x \, dx = 2 \int \sin x \, dx = -2\cos x + C_1 $$

- Nguyên hàm của $ \cos x $:
$$ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 $$

Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại với nhau:
$$ \int (2\sin x + \cos x) \, dx = -2\cos x + \sin x + C $$

Trong đó, $ C $ là hằng số tích phân, bao gồm cả $ C_1 $ và $ C_2 $.

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 2\sin x + \cos x $ là:
$$ -2\cos x + \sin x + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $ -2\cos x + \sin x + C $

Câu 94:
Để tìm nguyên hàm của $\sin^2x$, ta sử dụng công thức hạ bậc:

$$
\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
$$

Do đó, ta có:

$$
\int \sin^2x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx
$$

Ta tách tích phân thành hai phần:

$$
\int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx
$$

Tính từng phần riêng lẻ:

$$
\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{1}{2} x + C_1
$$

$$
\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + C_2 = \frac{\sin(2x)}{4} + C_2
$$

Gộp lại ta có:

$$
\int \sin^2x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C
$$

Trong đó, $C$ là hằng số tích phân.

Vậy, đáp án đúng là:

C. $\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

Đáp án: C. $\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

Câu 95:
Muốn tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $\sin(2x)$.
- Ta biết rằng nguyên hàm của $\sin(u)$ là $-\cos(u) + C$, trong đó $u$ là biến phụ và $C$ là hằng số nguyên hàm.

Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm cho hàm số $\sin(2x)$.
- Đặt $u = 2x$. Khi đó, $du = 2dx$ hoặc $dx = \frac{1}{2}du$.
- Do đó, nguyên hàm của $\sin(2x)$ sẽ là:
$$ \int \sin(2x) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = -\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C $$

Bước 3: Viết kết quả cuối cùng.
- Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x)$ là:
$$ F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C $$

Vậy, họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x)$ là $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.