giúp t giải bài với

Câu 89: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \tan^2 x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \tan^2 x \). Ta biết rằng: \[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \] Do đó: \[ \int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần. \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1 \] \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên. \[ \int \tan^2 x \, dx = \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx \] \[ = \tan x - x + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) = \tan^2 x \) là: \[ \boxed{\tan x - x + C} \] Đáp án đúng là: D. $\frac{\sin x - x \cos x}{\cos x} + C$ Lưu ý rằng: \[ \frac{\sin x - x \cos x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{x \cos x}{\cos x} = \tan x - x \] Như vậy, đáp án D là đúng. Câu 90: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin x} \), chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án đã cho để xem hàm số nào có đạo hàm bằng \( f(x) \). A. \( F(x) = 1 + \cot\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \) B. \( F(x) = -\frac{2}{1 + \tan\frac{x}{2}} \) C. \( F(x) = \ln(1 + \sin x) \) D. \( F(x) = 2\tan\frac{x}{2} \) Ta sẽ tính đạo hàm của mỗi hàm số này và so sánh với \( f(x) \): 1. Kiểm tra đáp án A: \[ F(x) = 1 + \cot\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \] Tính đạo hàm: \[ F'(x) = -\csc^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ F'(x) = -\frac{1}{2} \csc^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \] 2. Kiểm tra đáp án B: \[ F(x) = -\frac{2}{1 + \tan\frac{x}{2}} \] Tính đạo hàm: \[ F'(x) = -2 \cdot \left(-\frac{1}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2}\right) \cdot \frac{1}{2} \sec^2\frac{x}{2} \] \[ F'(x) = \frac{\sec^2\frac{x}{2}}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2} \] \[ F'(x) = \frac{1 + \tan^2\frac{x}{2}}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2} \] \[ F'(x) = \frac{1 + \tan^2\frac{x}{2}}{(1 + \tan\frac{x}{2})^2} = \frac{1}{1 + \sin x} \] 3. Kiểm tra đáp án C: \[ F(x) = \ln(1 + \sin x) \] Tính đạo hàm: \[ F'(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x} \] 4. Kiểm tra đáp án D: \[ F(x) = 2\tan\frac{x}{2} \] Tính đạo hàm: \[ F'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \sec^2\frac{x}{2} \] \[ F'(x) = \sec^2\frac{x}{2} \] So sánh các đạo hàm trên với \( f(x) = \frac{1}{1 + \sin x} \), ta thấy rằng chỉ có đạo hàm của đáp án B đúng bằng \( f(x) \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. F(x) = -\frac{2}{1 + \tan\frac{x}{2}}} \] Câu 91: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sin^3 x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại \( \sin^3 x \) dưới dạng \( \sin x \cdot \sin^2 x \): \[ \sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x \] Bước 2: Ta sử dụng công thức \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \): \[ \sin^3 x = \sin x \cdot (1 - \cos^2 x) \] \[ \sin^3 x = \sin x - \sin x \cos^2 x \] Bước 3: Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ \int \sin^3 x \, dx = \int (\sin x - \sin x \cos^2 x) \, dx \] \[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \sin x \cos^2 x \, dx \] Bước 4: Tính từng nguyên hàm riêng lẻ: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] Để tính \( \int \sin x \cos^2 x \, dx \), ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt \( u = \cos x \), thì \( du = -\sin x \, dx \) hoặc \( \sin x \, dx = -du \): \[ \int \sin x \cos^2 x \, dx = \int u^2 (-du) = -\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C_2 = -\frac{\cos^3 x}{3} + C_2 \] Bước 5: Kết hợp các kết quả trên: \[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = \sin^3 x \) là: \[ -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \) Câu 92: Để tính $\int f(x) \, dx$, ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}$. Bước 1: Chuyển đổi biểu thức $2\sin^2\frac{x}{2}$ thành dạng dễ tích phân hơn bằng cách sử dụng công thức hạ bậc: \[ 2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos x \] Bước 2: Tính nguyên hàm của biểu thức đã chuyển đổi: \[ \int f(x) \, dx = \int (1 - \cos x) \, dx \] Bước 3: Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int (1 - \cos x) \, dx = \int 1 \, dx - \int \cos x \, dx \] \[ = x - \sin x + C \] Vậy, $\int f(x) \, dx = x - \sin x + C$. Do đó, đáp án đúng là: B. $x - \sin x + C$ Câu 93: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x + \cos x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng. - Nguyên hàm của \( 2\sin x \): \[ \int 2\sin x \, dx = 2 \int \sin x \, dx = -2\cos x + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \cos x \): \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại với nhau: \[ \int (2\sin x + \cos x) \, dx = -2\cos x + \sin x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x + \cos x \) là: \[ -2\cos x + \sin x + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( -2\cos x + \sin x + C \) Câu 94: Để tìm nguyên hàm của $\sin^2x$, ta sử dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Do đó, ta có: \[ \int \sin^2x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] Ta tách tích phân thành hai phần: \[ \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \] Tính từng phần riêng lẻ: \[ \frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{1}{2} x + C_1 \] \[ \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + C_2 = \frac{\sin(2x)}{4} + C_2 \] Gộp lại ta có: \[ \int \sin^2x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C \] Trong đó, \(C\) là hằng số tích phân. Vậy, đáp án đúng là: C. $\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$ Đáp án: C. $\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$ Câu 95: Muốn tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $\sin(2x)$. - Ta biết rằng nguyên hàm của $\sin(u)$ là $-\cos(u) + C$, trong đó $u$ là biến phụ và $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm cho hàm số $\sin(2x)$. - Đặt $u = 2x$. Khi đó, $du = 2dx$ hoặc $dx = \frac{1}{2}du$. - Do đó, nguyên hàm của $\sin(2x)$ sẽ là: \[ \int \sin(2x) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = -\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng. - Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x)$ là: \[ F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \] Vậy, họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x)$ là $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.