Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là 100m². Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là 1(kg/m²) tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi (200g / m²) tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được 2,2 tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống)

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về hàm số và đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của sản lượng tôm thu hoạch.

Bước 1: Đặt ẩn số và điều kiện
- Gọi $ x $ là số kg tôm giống cần thả trong vụ tới.
- Diện tích ao nuôi là 100 m², nên mật độ thả tôm là $ \frac{x}{100} $ kg/m².

Bước 2: Thiết lập hàm số
- Theo đề bài, nếu giảm mật độ thả tôm đi 200 g/m² (tương đương 0,2 kg/m²), thì sản lượng tôm thu hoạch tăng lên 2,2 tấn.
- Ta có mối quan hệ giữa mật độ thả tôm và sản lượng tôm thu hoạch. Giả sử sản lượng tôm thu hoạch $ S $ (tấn) phụ thuộc vào mật độ thả tôm $ d $ (kg/m²) theo hàm số $ S(d) $.

Bước 3: Tìm hàm số cụ thể
- Khi mật độ thả tôm là 1 kg/m², sản lượng tôm thu hoạch là 2 tấn.
- Khi giảm mật độ thả tôm xuống còn $ 1 - 0,2 = 0,8 $ kg/m², sản lượng tôm thu hoạch là 2,2 tấn.
- Ta giả sử hàm số $ S(d) $ có dạng tuyến tính: $ S(d) = ad + b $.

Bước 4: Xác định hệ số $ a $ và $ b $
- Khi $ d = 1 $, $ S(1) = 2 $:
  $$
  a \cdot 1 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2
  $$
- Khi $ d = 0,8 $, $ S(0,8) = 2,2 $:
  $$
  a \cdot 0,8 + b = 2,2 \quad \Rightarrow \quad 0,8a + b = 2,2
  $$

Bước 5: Giải hệ phương trình
- Từ $ a + b = 2 $ và $ 0,8a + b = 2,2 $, ta trừ hai phương trình:
  $$
  (a + b) - (0,8a + b) = 2 - 2,2 \quad \Rightarrow \quad 0,2a = -0,2 \quad \Rightarrow \quad a = -1
  $$
- Thay $ a = -1 $ vào $ a + b = 2 $:
  $$
  -1 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 3
  $$

Bước 6: Hàm số cuối cùng
- Hàm số $ S(d) $ là:
  $$
  S(d) = -d + 3
  $$

Bước 7: Tìm giá trị lớn nhất của $ S(d) $
- Để tìm giá trị lớn nhất của $ S(d) $, ta lấy đạo hàm của $ S(d) $ và đặt bằng 0:
  $$
  S'(d) = -1
  $$
- Vì $ S'(d) $ là hằng số âm, hàm số $ S(d) $ giảm dần. Do đó, giá trị lớn nhất của $ S(d) $ xảy ra tại $ d $ nhỏ nhất.

Bước 8: Kết luận
- Mật độ thả tôm tối ưu là $ d = 0,8 $ kg/m².
- Số kg tôm giống cần thả là:
  $$
  x = 0,8 \times 100 = 80 \text{ kg}
  $$

Vậy, ông Thanh cần thả 80 kg tôm giống để đạt sản lượng tôm thu hoạch lớn nhất.

Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là 100m². Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là 1(kg/m²) tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều...