giải giúp e ạ

Câu 56: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(-3, 0, 0) \), \( B(0, 4, 0) \), và \( C(0, 0, -2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Đầu tiên, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 + 3, 4 - 0, 0 - 0) = (3, 4, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 + 3, 0 - 0, -2 - 0) = (3, 0, -2) \] Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(4 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(3 \cdot (-2) - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(3 \cdot 0 - 4 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(-8) - \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(-12) \] \[ = (-8, 6, -12) \] Để đơn giản, ta có thể chia các thành phần của vectơ pháp tuyến cho 2: \[ \overrightarrow{n} = (-4, 3, -6) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] với \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến. Thay \((a, b, c) = (-4, 3, -6)\) vào, ta có: \[ -4x + 3y - 6z + d = 0 \] 3. Tìm \(d\) bằng cách thay tọa độ của một trong ba điểm vào phương trình: Thay điểm \(A(-3, 0, 0)\) vào phương trình: \[ -4(-3) + 3(0) - 6(0) + d = 0 \] \[ 12 + d = 0 \Rightarrow d = -12 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ -4x + 3y - 6z - 12 = 0 \] Để phù hợp với các đáp án cho sẵn, ta nhân toàn bộ phương trình với \(-1\): \[ 4x - 3y + 6z + 12 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{A} \). Câu 57: Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm \( A(1;0;0) \), \( B(0;3;0) \), và \( C(0;0;5) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Ta cần tìm một vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến có thể được tìm bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Chọn hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{AB} = (0 - 1, 3 - 0, 0 - 0) = (-1, 3, 0) \] \[ \vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 5 - 0) = (-1, 0, 5) \] Tích có hướng của \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) là: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 5 \\ \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(3 \cdot 5 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 5 - 0 \cdot -1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - 3 \cdot -1) \] \[ = 15\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (15, 5, 3)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 15x + 5y + 3z + D = 0 \] Thay tọa độ điểm \( A(1;0;0) \) vào phương trình để tìm \( D \): \[ 15 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow 15 + D = 0 \Rightarrow D = -15 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 15x + 5y + 3z - 15 = 0 \] Đưa về dạng chuẩn: \[ 15x + 5y + 3z = 15 \] Chia cả hai vế cho 15: \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1 \] 3. Kết luận: Phương trình mặt phẳng là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\). Do đó, đáp án đúng là \(D\). Câu 58: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;-2;0)\) và \(C(0;0;3)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Đầu tiên, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, -2 - 0, 0 - 0) = (-1, -2, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3) \] Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - (-2) \cdot 3) - \mathbf{j}((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0 - (-1) \cdot (-2)) \] \[ = \mathbf{i}(6) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-2) \] \[ = (6, 3, -2) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 6x + 3y - 2z = D \] Thay tọa độ điểm \(A(1;0;0)\) vào phương trình để tìm \(D\): \[ 6 \cdot 1 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = D \Rightarrow D = 6 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 6x + 3y - 2z = 6 \] 3. Chuyển phương trình về dạng phân số: Chia cả hai vế của phương trình cho 6, ta được: \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1 \] Do đó, phương trình mặt phẳng là: \[ \frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1 \] Vậy đáp án đúng là \(A\). Câu 59: Để viết phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \( A(2;0;0) \), \( B(0;-1;0) \), \( C(0;0;-3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): Để tìm vectơ pháp tuyến, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Ta có thể chọn hai vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, -1 - 0, 0 - 0) = (-2, -1, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 2, 0 - 0, -3 - 0) = (-2, 0, -3) \] Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng (ABC) là tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & -3 \\ \end{vmatrix} \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}((-1)(-3) - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}((-2)(-3) - 0 \cdot (-2)) + \mathbf{k}((-2)(0) - (-2)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-2) \] \[ = (3, -6, -2) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] với \((a, b, c)\) là tọa độ của vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3, -6, -2)\). Thay tọa độ điểm \(A(2, 0, 0)\) vào phương trình: \[ 3 \cdot 2 + (-6) \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + d = 0 \] \[ 6 + d = 0 \Rightarrow d = -6 \] Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \[ 3x - 6y - 2z - 6 = 0 \] Để phù hợp với các đáp án cho sẵn, ta nhân cả hai vế với \(-1\): \[ -3x + 6y + 2z + 6 = 0 \] Đáp án đúng là \(C.~-3x+6y+2z+6=0.\) Câu 60: Để tìm phương trình của mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \( A(-1, 0, 0) \), \( B(0, 3, 0) \), và \( C(0, 0, 4) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): Ta cần tìm một vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (a, b, c)\) của mặt phẳng. Để làm điều này, ta có thể sử dụng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng. - Vectơ \(\vec{AB} = (0 - (-1), 3 - 0, 0 - 0) = (1, 3, 0)\). - Vectơ \(\vec{AC} = (0 - (-1), 0 - 0, 4 - 0) = (1, 0, 4)\). Tích có hướng \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) là: \[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 3 \cdot 1) \] \[ = 12\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] Vậy, vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (12, -4, -3)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Thay \((a, b, c) = (12, -4, -3)\) và sử dụng điểm \(A(-1, 0, 0)\) để tìm \(d\): \[ 12(-1) + (-4)(0) + (-3)(0) + d = 0 \] \[ -12 + d = 0 \Rightarrow d = 12 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 12x - 4y - 3z + 12 = 0 \] Chia cả hai vế cho 12, ta được: \[ x - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} + 1 = 0 \] \[ \frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = -1 \] 3. Kết luận: Phương trình của mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = -1\). Do đó, đáp án đúng là \(D\). Câu 61: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm phương trình mặt phẳng (ABC) trong không gian Oxyz, với điểm M(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC, và A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 1. Xác định tọa độ các điểm A, B, C: - Điểm A là hình chiếu của M trên trục Ox, do đó A có tọa độ \( A(1, 0, 0) \). - Điểm B là hình chiếu của M trên trục Oy, do đó B có tọa độ \( B(0, 2, 0) \). - Điểm C là hình chiếu của M trên trục Oz, do đó C có tọa độ \( C(0, 0, 3) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC): - Mặt phẳng (ABC) có dạng: \( \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \). Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \( \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \). Đáp án đúng là A. Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ 1. Điều kiện trọng tâm: - Gọi tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là \( A(a, 0, 0) \), \( B(0, b, 0) \), \( C(0, 0, c) \). - Trọng tâm M của tam giác ABC có tọa độ: \[ M\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right) = (1, 2, 3) \] - Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \frac{a}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \] \[ \frac{b}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 6 \] \[ \frac{c}{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad c = 9 \] 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(3, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 9) có dạng: \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \] - Quy đồng mẫu số và rút gọn, ta được: \[ 6x + 3y + 2z = 18 \] - Chuyển vế, ta có phương trình: \[ 6x + 3y + 2z + 18 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \( 6x + 3y + 2z + 18 = 0 \). Đáp án đúng là A.