Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Tính giá trị của tích phân sau:,$J=\int^1_0\frac{\ln(x)\ln(1-x)}xdx$

Question

Timi · Accepted Answer

Ta sẽ tính tích phân $ J = \int_0^1 \frac{\ln(x) \ln(1-x)}{x} \, dx $.

Bước 1: Đặt $ t = 1 - x $. Khi đó $ dt = -dx $ và giới hạn tích phân thay đổi từ $ x = 0 $ đến $ x = 1 $ thành $ t = 1 $ đến $ t = 0 $.

Do đó:
$$ J = \int_1^0 \frac{\ln(1-t) \ln(t)}{1-t} (-dt) = \int_0^1 \frac{\ln(1-t) \ln(t)}{1-t} \, dt. $$

Bước 2: Ta có:
$$ J = \int_0^1 \frac{\ln(1-t) \ln(t)}{1-t} \, dt. $$

Bước 3: Ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân này. Đặt:
$$ u = \ln(1-t) \quad \text{và} \quad dv = \frac{\ln(t)}{1-t} \, dt. $$

Khi đó:
$$ du = \frac{-1}{1-t} \, dt \quad \text{và} \quad v = \int \frac{\ln(t)}{1-t} \, dt. $$

Bước 4: Tính $ v $:
$$ v = \int \frac{\ln(t)}{1-t} \, dt. $$

Đặt $ w = 1 - t $, suy ra $ dw = -dt $ và $ t = 1 - w $. Do đó:
$$ v = \int \frac{\ln(1-w)}{w} (-dw) = -\int \frac{\ln(1-w)}{w} \, dw. $$

Bước 5: Ta biết rằng:
$$ \int \frac{\ln(1-w)}{w} \, dw = -\text{Li}_2(w), $$
trong đó $ \text{Li}_2(w) $ là hàm đa logarithm (polylogarithm) bậc 2.

Do đó:
$$ v = \text{Li}_2(w) = \text{Li}_2(1-t). $$

Bước 6: Áp dụng công thức tích phân từng phần:
$$ J = uv \bigg|_0^1 - \int_0^1 v \, du. $$

Thay $ u $ và $ v $ vào:
$$ J = \left[ \ln(1-t) \cdot \text{Li}_2(1-t) \right]_0^1 - \int_0^1 \text{Li}_2(1-t) \cdot \frac{-1}{1-t} \, dt. $$

Bước 7: Tính giá trị tại giới hạn:
$$ \left[ \ln(1-t) \cdot \text{Li}_2(1-t) \right]_0^1 = 0 - 0 = 0. $$

Do đó:
$$ J = \int_0^1 \frac{\text{Li}_2(1-t)}{1-t} \, dt. $$

Bước 8: Ta biết rằng:
$$ \text{Li}_2(1-t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(1-t)^n}{n^2}. $$

Do đó:
$$ J = \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{(1-t)^{n-1}}{n^2} \, dt. $$

Bước 9: Đổi thứ tự tích phân và tổng:
$$ J = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \int_0^1 (1-t)^{n-1} \, dt. $$

Bước 10: Tính tích phân:
$$ \int_0^1 (1-t)^{n-1} \, dt = \frac{1}{n}. $$

Do đó:
$$ J = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3), $$
trong đó $ \zeta(3) $ là hằng số Apery.

Vậy giá trị của tích phân $ J $ là:
$$ J = \boxed{\zeta(3)}. $$