Câu 7: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đấy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là 18m³...

Câu 7: Để giải bài toán này, ta cần tối ưu hóa chi phí xây dựng hồ nước. Chi phí xây dựng phụ thuộc vào diện tích bề mặt của hồ nước, vì vậy ta cần tìm cách tối thiểu hóa diện tích bề mặt này. Bước 1: Đặt các kích thước của hồ nước Gọi chiều rộng của đáy hình chữ nhật là \( x \) (m). Theo đề bài, chiều dài của đáy là \( 3x \) (m). Chiều cao của hồ nước là \( h \) (m). Bước 2: Tính thể tích của hồ nước Thể tích của hồ nước là: \[ V = x \cdot 3x \cdot h = 3x^2h \] Theo đề bài, thể tích này bằng 18 m³, do đó: \[ 3x^2h = 18 \] Suy ra: \[ x^2h = 6 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{6}{x^2} \] Bước 3: Tính diện tích bề mặt cần tối thiểu hóa Diện tích bề mặt của hồ nước (không có nắp) bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên: - Diện tích đáy: \( 3x \cdot x = 3x^2 \) - Diện tích hai mặt bên có kích thước \( x \times h \): \( 2xh \) - Diện tích hai mặt bên có kích thước \( 3x \times h \): \( 6xh \) Tổng diện tích bề mặt là: \[ S = 3x^2 + 2xh + 6xh = 3x^2 + 8xh \] Thay \( h = \frac{6}{x^2} \) vào biểu thức diện tích: \[ S = 3x^2 + 8x \cdot \frac{6}{x^2} = 3x^2 + \frac{48}{x} \] Bước 4: Tìm giá trị \( x \) để diện tích \( S \) nhỏ nhất Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \) và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0: \[ S' = \frac{d}{dx}\left(3x^2 + \frac{48}{x}\right) = 6x - \frac{48}{x^2} \] Giải phương trình \( S' = 0 \): \[ 6x - \frac{48}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x^3 = 48 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Bước 5: Tính chiều cao \( h \) khi \( x = 2 \) Thay \( x = 2 \) vào phương trình \( h = \frac{6}{x^2} \): \[ h = \frac{6}{2^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Bước 6: Kiểm tra tính cực tiểu Ta kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai để xác định tính cực tiểu: \[ S'' = \frac{d}{dx}\left(6x - \frac{48}{x^2}\right) = 6 + \frac{96}{x^3} \] Với \( x = 2 \), ta có: \[ S''(2) = 6 + \frac{96}{8} = 6 + 12 = 18 > 0 \] Do đó, \( S \) đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). Kết luận: Chiều cao \( h \) của hồ nước để chi phí xây dựng là thấp nhất là \( \frac{3}{2} \) m.