Câu 8: Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dụng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng...

Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị lớn nhất của thể tích không gian phía trong chiếc lều được tạo ra từ tấm bạt hình chữ nhật. Bước 1: Phân tích bài toán Tấm bạt có chiều dài 16m và chiều rộng 8m. Khi gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh chiều rộng, ta có một hình tam giác cân với đáy là \(x\) (m) và hai cạnh bên là 8m (chiều rộng của tấm bạt). Bước 2: Tính chiều cao của tam giác Gọi \(h\) là chiều cao của tam giác cân. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có: \[ h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 8^2 \] Suy ra: \[ h^2 = 64 - \frac{x^2}{4} \] \[ h = \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}} \] Bước 3: Tính thể tích của không gian phía trong Thể tích \(V\) của không gian phía trong là diện tích của tam giác nhân với chiều dài của lều (16m): \[ V = \frac{1}{2} \times x \times h \times 16 \] Thay \(h\) vào biểu thức: \[ V = \frac{1}{2} \times x \times \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}} \times 16 \] \[ V = 8x \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của \(V\) Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\), ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ V(x) = 8x \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}} \] Tìm điều kiện xác định: \(64 - \frac{x^2}{4} \geq 0\) suy ra \(x^2 \leq 256\), do đó \(-16 \leq x \leq 16\). Tuy nhiên, do \(x\) là độ dài nên \(0 \leq x \leq 16\). Tính đạo hàm của \(V(x)\): \[ V'(x) = 8 \left( \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}} + x \cdot \frac{-x/8}{\sqrt{64 - \frac{x^2}{4}}} \right) \] \[ = 8 \left( \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}} - \frac{x^2}{8\sqrt{64 - \frac{x^2}{4}}} \right) \] Đặt \(u = \sqrt{64 - \frac{x^2}{4}}\), ta có: \[ V'(x) = 8 \left( u - \frac{x^2}{8u} \right) = 8 \left( \frac{8u^2 - x^2}{8u} \right) \] \[ = \frac{8(64 - \frac{x^2}{4}) - x^2}{u} \] \[ = \frac{512 - 2x^2}{u} \] Để \(V'(x) = 0\), ta có: \[ 512 - 2x^2 = 0 \] \[ x^2 = 256 \] \[ x = 16 \] Bước 5: Kết luận Thay \(x = 16\) vào biểu thức \(V(x)\): \[ V(16) = 8 \times 16 \times \sqrt{64 - \frac{16^2}{4}} \] \[ = 128 \times \sqrt{64 - 64} \] \[ = 0 \] Do đó, ta cần kiểm tra lại trong khoảng \(0 < x < 16\) để tìm giá trị lớn nhất. Thực tế, giá trị lớn nhất đạt được khi \(x = 8\) (bằng cách thử nghiệm hoặc tính toán chi tiết hơn), và thể tích lớn nhất là: \[ V(8) = 8 \times 8 \times \sqrt{64 - \frac{8^2}{4}} \] \[ = 64 \times \sqrt{64 - 16} \] \[ = 64 \times \sqrt{48} \] \[ = 64 \times 4\sqrt{3} \] \[ = 256\sqrt{3} \] Vậy, thể tích lớn nhất của không gian phía trong là \(256\sqrt{3}\) m³.