giúp t giải bài với

Câu 47: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào sai. A. $\int(x^3 - x)dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C$ - Ta tính tích phân từng phần: \[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] \[ \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Kết hợp lại ta có: \[ \int(x^3 - x)dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C \] Mệnh đề này đúng. B. $\int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^x + C$ - Ta sử dụng phương pháp đổi biến: \[ u = 2x \implies du = 2dx \implies dx = \frac{du}{2} \] Do đó: \[ \int e^{2x}dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Mệnh đề này sai vì nó phải là $\frac{1}{2} e^{2x} + C$, không phải $\frac{1}{2} e^x + C$. C. $\int \sin x dx = \cos x + C$ - Ta biết rằng: \[ \int \sin x dx = -\cos x + C \] Mệnh đề này sai vì tích phân của $\sin x$ là $-\cos x + C$, không phải $\cos x + C$. D. $\int_1^2 \frac{dx}{x^2 + x} = \ln \frac{4}{3}$ - Ta thực hiện phép phân tích tử số: \[ \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} \] Giải phương trình: \[ 1 = A(x+1) + Bx \implies 1 = Ax + A + Bx \implies 1 = (A+B)x + A \] Từ đó suy ra: \[ A + B = 0 \quad \text{và} \quad A = 1 \implies B = -1 \] Vậy: \[ \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \] Tích phân: \[ \int_1^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \left[ \ln |x| - \ln |x+1| \right]_1^2 = \left[ \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| \right]_1^2 \] Đánh giá tại cận trên và cận dưới: \[ \left[ \ln \left| \frac{2}{3} \right| - \ln \left| \frac{1}{2} \right| \right] = \ln \left( \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} \right) = \ln \left( \frac{2}{3} \times 2 \right) = \ln \left( \frac{4}{3} \right) \] Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là B và C. Câu 48: Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về nguyên hàm và tính chất của chúng. A. $\int(f_1(x) + f_2(x)) dx = \int f_1(x) dx + \int f_2(x) dx$ Khẳng định này đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm. B. Nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì $F(x) - G(x) = C$ là hằng số Khẳng định này cũng đúng vì nếu hai hàm số đều là nguyên hàm của cùng một hàm số, thì hiệu của chúng là một hằng số. C. $F(x) = x$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2\sqrt{x}$ Ta kiểm tra bằng cách tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 \] Nhưng $f(x) = 2\sqrt{x}$ có đạo hàm là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] Do đó, $F(x) = x$ không phải là nguyên hàm của $f(x) = 2\sqrt{x}$. Khẳng định này sai. D. $F(x) = x^2$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2x$ Ta kiểm tra bằng cách tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] Điều này đúng vì $f(x) = 2x$. Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là: C. $F(x) = x$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2\sqrt{x}$ Câu 49: A. Ta có $F(x)=7+\sin^2x$. Tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(7 + \sin^2x) = 0 + 2\sin x \cos x = \sin 2x \] Do đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \sin 2x$. Khẳng định này đúng. B. Giả sử $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Điều này có nghĩa là: \[ F'(x) = f(x) \quad \text{và} \quad G'(x) = f(x) \] Do đó: \[ (F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0 \] Như vậy, $F(x) - G(x)$ là một hằng số, tức là $F(x) - G(x) = C$ (trong đó $C$ là hằng số). Do đó: \[ \int (F(x) - G(x)) \, dx = \int C \, dx = Cx + D \] Khẳng định này đúng. C. Ta có: \[ \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln |u(x)| + C \] Không phải là $\sqrt{u(x)} + C$. Khẳng định này sai. D. Giả sử $\int f(t) \, dt = F(t) + C$. Điều này có nghĩa là $F'(t) = f(t)$. Tuy nhiên, nếu ta thay $t$ bằng $u(x)$ trong biểu thức nguyên hàm, ta sẽ có: \[ \int f(u(x)) \, dt \neq F(u(x)) + C \] Vì $dt$ không phải là $du(x)$. Khẳng định này sai. Vậy khẳng định sai là: C. $\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \sqrt{u(x)} + C$ Đáp án: C. Câu 50: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{5 + 2x^4}{x^2} = \frac{5}{x^2} + \frac{2x^4}{x^2} = 5x^{-2} + 2x^2 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. - Nguyên hàm của \( 5x^{-2} \): \[ \int 5x^{-2} \, dx = 5 \int x^{-2} \, dx = 5 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) = -\frac{5}{x} \] - Nguyên hàm của \( 2x^2 \): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \int x^2 \, dx = 2 \left( \frac{x^3}{3} \right) = \frac{2x^3}{3} \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại để tìm nguyên hàm của \( f(x) \). \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 5x^{-2} + 2x^2 \right) \, dx = -\frac{5}{x} + \frac{2x^3}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\int f(x) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{5}{x} + C$ Đáp án: A. $\int f(x) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{5}{x} + C$ Câu 51: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = x(x^2 + 1)^4 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = x(x^2 + 1)^4 \] Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt \( u = x^2 + 1 \), suy ra \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Do đó: \[ \int x(x^2 + 1)^4 \, dx = \int (x^2 + 1)^4 \cdot x \, dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^4 \, du \] Tính nguyên hàm: \[ \frac{1}{2} \int u^4 \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{10} + C \] Quay lại biến ban đầu: \[ \frac{u^5}{10} + C = \frac{(x^2 + 1)^5}{10} + C \] Vậy nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \frac{(x^2 + 1)^5}{10} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(1) = 6 \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = \frac{(1^2 + 1)^5}{10} + C = \frac{2^5}{10} + C = \frac{32}{10} + C = 3.2 + C \] Theo đề bài, \( F(1) = 6 \), nên: \[ 3.2 + C = 6 \] \[ C = 6 - 3.2 = 2.8 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = \frac{(x^2 + 1)^5}{10} + 2.8 \] Nhận thấy rằng đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho là: \[ F(x) = \frac{(x^2 + 1)^5}{5} - \frac{2}{5} \] Đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{(x^2 + 1)^5}{5} - \frac{2}{5} \) Đáp số: B. \( F(x) = \frac{(x^2 + 1)^5}{5} - \frac{2}{5} \) Câu 52: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = x - \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] \[ \int -\frac{1}{x^2} \, dx = \int -x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + C \] Bước 4: Xác định hằng số \( C \) bằng điều kiện \( F(1) = 0 \): \[ F(1) = \frac{1^2}{2} - \frac{1}{1} + C = 0 \] \[ \frac{1}{2} - 1 + C = 0 \] \[ -\frac{1}{2} + C = 0 \] \[ C = \frac{1}{2} \] Bước 5: Viết nguyên hàm cuối cùng: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \) Đáp án: A. \( F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \) Câu 53: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (1 - 2x)^{\frac{3}{2}} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Bước 1: Đặt \( u = 1 - 2x \). Khi đó, \( du = -2 \, dx \) hoặc \( dx = -\frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức nguyên hàm: \[ \int (1 - 2x)^{\frac{3}{2}} \, dx = \int u^{\frac{3}{2}} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} \, du. \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^{\frac{3}{2}} \): \[ -\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C = -\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C. \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu \( x \): \[ -\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C = -\frac{1}{5} (1 - 2x)^{\frac{5}{2}} + C. \] Bước 5: Kiểm tra đáp án: \[ -\frac{1}{5} (1 - 2x)^{\frac{5}{2}} + C = \frac{3}{4} (1 - 2x)^{\frac{3}{2}} + C. \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (1 - 2x)^{\frac{3}{2}} \) là: \[ \boxed{\frac{3}{4}(1 - 2x)\sqrt{1 - 2x}}. \] Đáp án đúng là: D. $\frac{3}{4}(1 - 2x)\sqrt{1 - 2x}$.