giúp t giải bài với

Câu 62: Để xác định hàm số \( f(x) \) từ đẳng thức \( x^2 + xy + C = \int f(y) \, dy \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tích phân bên phải: \[ \int f(y) \, dy = x^2 + xy + C \] Điều này có nghĩa là \( x^2 + xy + C \) là nguyên hàm của \( f(y) \). 2. Tìm đạo hàm của cả hai vế để xác định \( f(y) \): \[ \frac{d}{dy} \left( x^2 + xy + C \right) = \frac{d}{dy} \left( \int f(y) \, dy \right) \] 3. Áp dụng quy tắc đạo hàm: - Đạo hàm của \( x^2 \) theo \( y \) là 0 vì \( x^2 \) là hằng số đối với \( y \). - Đạo hàm của \( xy \) theo \( y \) là \( x \) vì \( x \) là hằng số đối với \( y \). - Đạo hàm của \( C \) theo \( y \) là 0 vì \( C \) là hằng số. Do đó: \[ \frac{d}{dy} \left( x^2 + xy + C \right) = 0 + x + 0 = x \] 4. Kết luận: \[ f(y) = x \] Như vậy, hàm số \( f(x) \) là \( x \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( x \) Đáp án: B. \( x \) Câu 63: Để xác định hàm số \( f(v) \) từ đẳng thức \( e^u + e^v + C = \int f(v) \, dv \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm tích phân: Ta có: \[ e^u + e^v + C = \int f(v) \, dv \] Điều này có nghĩa là \( e^u + e^v + C \) là nguyên hàm của \( f(v) \). 2. Tìm đạo hàm của cả hai vế: Để xác định \( f(v) \), ta lấy đạo hàm của cả hai vế theo biến \( v \): \[ \frac{d}{dv} (e^u + e^v + C) = \frac{d}{dv} \left( \int f(v) \, dv \right) \] 3. Áp dụng quy tắc đạo hàm: - Đạo hàm của \( e^u \) theo \( v \) là 0 vì \( u \) không phụ thuộc vào \( v \). - Đạo hàm của \( e^v \) theo \( v \) là \( e^v \). - Đạo hàm của hằng số \( C \) là 0. - Đạo hàm của \( \int f(v) \, dv \) theo \( v \) là \( f(v) \). Do đó, ta có: \[ 0 + e^v + 0 = f(v) \] \[ f(v) = e^v \] 4. Kiểm tra đáp án: Các lựa chọn đã cho là: A. \( e^v \) B. \( e^u \) C. \( -e^v \) D. \( -e^u \) Từ kết quả trên, ta thấy rằng \( f(v) = e^v \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~e^v} \] Câu 64: Để xác định hàm số \( f(y) \) từ đẳng thức \(\frac{4}{x^3} - \frac{1}{y^2} + C = \int f(y) \, dy\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phần tích phân: Ta thấy rằng \(\frac{4}{x^3}\) là một hằng số theo biến \( y \). Do đó, ta có thể viết lại đẳng thức như sau: \[ -\frac{1}{y^2} + C = \int f(y) \, dy \] 2. Tìm đạo hàm của cả hai vế để xác định \( f(y) \): Đạo hàm của \(-\frac{1}{y^2}\) theo \( y \) là: \[ \frac{d}{dy} \left( -\frac{1}{y^2} \right) = \frac{d}{dy} \left( -y^{-2} \right) = 2y^{-3} = \frac{2}{y^3} \] Vì đạo hàm của hằng số \( C \) là 0, nên ta có: \[ \frac{d}{dy} \left( -\frac{1}{y^2} + C \right) = \frac{2}{y^3} \] 3. So sánh với đạo hàm của tích phân: Ta biết rằng đạo hàm của \(\int f(y) \, dy\) chính là \( f(y) \). Do đó: \[ f(y) = \frac{2}{y^3} \] Vậy hàm số \( f(y) \) là \(\frac{2}{y^3}\). Đáp án đúng là: C. \( +\frac{2}{y^3} \) Câu 65: Để xác định hàm số \( f(u) \) từ đẳng thức \(\sin u \cdot \cos v + C = \int f(u) \, du\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số \( f(u) \): Ta có: \[ \sin u \cdot \cos v + C = \int f(u) \, du \] Điều này có nghĩa là đạo hàm của \(\sin u \cdot \cos v\) theo biến \(u\) sẽ cho ta hàm số \(f(u)\). 2. Tính đạo hàm của \(\sin u \cdot \cos v\): Ta áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm: \[ \frac{d}{du} (\sin u \cdot \cos v) = \cos u \cdot \cos v \] Vì \(\cos v\) là hằng số theo biến \(u\), nên đạo hàm của nó theo \(u\) là 0. 3. Kết luận: Do đó, hàm số \(f(u)\) là: \[ f(u) = \cos u \cdot \cos v \] Vậy đáp án đúng là: D. \(\cos u \cdot \cos v\) Đáp án: D. \(\cos u \cdot \cos v\)