Giúppppppppp

Câu 3. Để tìm số lượng sản phẩm x sao cho lợi nhuận của nhà máy là lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính doanh thu: Doanh thu từ việc bán x sản phẩm là: \[ R(x) = p(x) \cdot x = (1700 - 7x) \cdot x = 1700x - 7x^2 \] 2. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận là hiệu giữa doanh thu và chi phí sản xuất: \[ L(x) = R(x) - C(x) = (1700x - 7x^2) - (16000 + 500x - 1,6x^2 + 0,004x^3) \] \[ L(x) = 1700x - 7x^2 - 16000 - 500x + 1,6x^2 - 0,004x^3 \] \[ L(x) = -0,004x^3 - 5,4x^2 + 1200x - 16000 \] 3. Tìm giá trị cực đại của hàm lợi nhuận: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( L(x) \), ta tính đạo hàm của \( L(x) \) và tìm điểm cực đại. \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-0,004x^3 - 5,4x^2 + 1200x - 16000) \] \[ L'(x) = -0,012x^2 - 10,8x + 1200 \] Bây giờ, ta giải phương trình \( L'(x) = 0 \): \[ -0,012x^2 - 10,8x + 1200 = 0 \] Chia cả hai vế cho -0,012: \[ x^2 + 900x - 100000 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 900 \), \( c = -100000 \): \[ x = \frac{-900 \pm \sqrt{900^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100000)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-900 \pm \sqrt{810000 + 400000}}{2} \] \[ x = \frac{-900 \pm \sqrt{1210000}}{2} \] \[ x = \frac{-900 \pm 1100}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-900 + 1100}{2} = \frac{200}{2} = 100 \] \[ x_2 = \frac{-900 - 1100}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000 \] Vì số lượng sản phẩm không thể âm, ta loại nghiệm \( x_2 = -1000 \). Do đó, ta có: \[ x = 100 \] 4. Kiểm tra tính chất cực đại: Để kiểm tra xem \( x = 100 \) là điểm cực đại, ta tính đạo hàm thứ hai của \( L(x) \): \[ L''(x) = \frac{d}{dx}(-0,012x^2 - 10,8x + 1200) \] \[ L''(x) = -0,024x - 10,8 \] Tại \( x = 100 \): \[ L''(100) = -0,024 \cdot 100 - 10,8 = -2,4 - 10,8 = -13,2 \] Vì \( L''(100) < 0 \), nên \( x = 100 \) là điểm cực đại của hàm số \( L(x) \). Kết luận: Nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm trên mô hình thiết kế. 2. Tìm giá trị của các tham số \(a\) và \(b\) trong phương trình của cây cầu. 3. Xác định tọa độ của các điểm N và Q. 4. Tính độ dài của các đoạn cáp treo MN và PQ. 5. Tính tổng độ dài của hai đoạn cáp treo. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm trên mô hình thiết kế - Điểm M có tọa độ (-40, 30). - Điểm P có tọa độ (40, 40). Bước 2: Tìm giá trị của các tham số \(a\) và \(b\) trong phương trình của cây cầu Phương trình của cây cầu là \( y = \frac{1}{25600}x^3 + ax + b \). Thay tọa độ của điểm M vào phương trình: \[ 30 = \frac{1}{25600}(-40)^3 + a(-40) + b \] \[ 30 = \frac{1}{25600}(-64000) - 40a + b \] \[ 30 = -2.5 - 40a + b \] \[ 32.5 = -40a + b \quad \text{(1)} \] Thay tọa độ của điểm P vào phương trình: \[ 40 = \frac{1}{25600}(40)^3 + a(40) + b \] \[ 40 = \frac{1}{25600}(64000) + 40a + b \] \[ 40 = 2.5 + 40a + b \] \[ 37.5 = 40a + b \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ 32.5 = -40a + b \] \[ 37.5 = 40a + b \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ 37.5 - 32.5 = 40a + b - (-40a + b) \] \[ 5 = 80a \] \[ a = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \] Thay \(a = \frac{1}{16}\) vào phương trình (1): \[ 32.5 = -40 \left(\frac{1}{16}\right) + b \] \[ 32.5 = -2.5 + b \] \[ b = 35 \] Vậy phương trình của cây cầu là: \[ y = \frac{1}{25600}x^3 + \frac{1}{16}x + 35 \] Bước 3: Xác định tọa độ của các điểm N và Q Điểm N nằm trên đường thẳng \(x = -40\), do đó: \[ y_N = \frac{1}{25600}(-40)^3 + \frac{1}{16}(-40) + 35 \] \[ y_N = \frac{1}{25600}(-64000) - 2.5 + 35 \] \[ y_N = -2.5 - 2.5 + 35 \] \[ y_N = 30 \] Vậy tọa độ của điểm N là (-40, 30). Điểm Q nằm trên đường thẳng \(x = 40\), do đó: \[ y_Q = \frac{1}{25600}(40)^3 + \frac{1}{16}(40) + 35 \] \[ y_Q = \frac{1}{25600}(64000) + 2.5 + 35 \] \[ y_Q = 2.5 + 2.5 + 35 \] \[ y_Q = 40 \] Vậy tọa độ của điểm Q là (40, 40). Bước 4: Tính độ dài của các đoạn cáp treo MN và PQ Độ dài đoạn cáp treo MN: \[ MN = |y_M - y_N| = |30 - 30| = 0 \] Độ dài đoạn cáp treo PQ: \[ PQ = |y_P - y_Q| = |40 - 40| = 0 \] Bước 5: Tính tổng độ dài của hai đoạn cáp treo Tổng độ dài của hai đoạn cáp treo là: \[ MN + PQ = 0 + 0 = 0 \] Vậy tổng độ dài của hai đoạn cáp treo là 0 mét. Đáp số: 0 mét. Câu 5. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hình lăng trụ đứng lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm thể tích của hình lăng trụ đứng: - Diện tích đáy của hình lăng trụ là diện tích tam giác ABC. - Thể tích \( V \) của hình lăng trụ đứng được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao của lăng trụ. 2. Diện tích đáy (tam giác ABC): - Tam giác ABC có đáy là \( x \) và chiều cao từ đỉnh A xuống đáy BC là 5m. - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times x \times 5 = \frac{5x}{2} \] 3. Thể tích của hình lăng trụ đứng: - Chiều cao của lăng trụ là 20m. - Thể tích \( V \) của hình lăng trụ đứng là: \[ V = S_{ABC} \times 20 = \left( \frac{5x}{2} \right) \times 20 = 50x \] 4. Tìm giá trị của \( x \) để thể tích lớn nhất: - Để thể tích lớn nhất, ta cần tối đa hóa biểu thức \( V = 50x \). - Tuy nhiên, \( x \) phải thỏa mãn điều kiện hình học của tam giác ABC, tức là \( x \) phải nhỏ hơn tổng chiều dài của hai cạnh còn lại của tam giác (theo bất đẳng thức tam giác). 5. Áp dụng bất đẳng thức tam giác: - Bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC là: \[ x < 5 + 5 \quad \text{(tổng hai cạnh kia)} \] \[ x < 10 \] 6. Tối đa hóa \( x \): - Để thể tích lớn nhất, \( x \) nên gần nhất với giá trị giới hạn trên là 10m. Do đó, giá trị của \( x \) để thể tích của hình lăng trụ đứng lớn nhất là: \[ x = 10 \, \text{m} \] Đáp số: \( x = 10 \, \text{m} \) Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), \(\overrightarrow{MC}\), \(\overrightarrow{MD}\): - \(\overrightarrow{MA} = (3-a, 4-b, 4-c)\) - \(\overrightarrow{MB} = (1-a, -1-b, -c)\) - \(\overrightarrow{MC} = (3-a, 2-b, 4-c)\) - \(\overrightarrow{MD} = (2-a, -b, 2-c)\) 2. Tính các bình phương và tích vô hướng: - \((\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB})^2 = [(3-a)(1-a) + (4-b)(-1-b) + (4-c)(-c)]^2\) - \(MB^2 = (1-a)^2 + (-1-b)^2 + (-c)^2\) - \(MC^2 = (3-a)^2 + (2-b)^2 + (4-c)^2\) - \(MD^2 = (2-a)^2 + (-b)^2 + (2-c)^2\) 3. Thay vào biểu thức \(P\): \[ P = (\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB})^2 + 2MB^2 + 3MC^2 - 4MD^2 \] 4. Rút gọn biểu thức: Ta sẽ tính từng thành phần: - \((\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}) = (3-a)(1-a) + (4-b)(-1-b) + (4-c)(-c)\) \[ = (3-a)(1-a) + (4-b)(-1-b) + (4-c)(-c) = 3 - 3a - a + a^2 + 4 + 4b - b - b^2 - 4c + c^2 = a^2 - 4a + b^2 + 3b + c^2 - 4c + 7 \] - \((\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB})^2 = (a^2 - 4a + b^2 + 3b + c^2 - 4c + 7)^2\) - \(MB^2 = (1-a)^2 + (-1-b)^2 + (-c)^2 = 1 - 2a + a^2 + 1 + 2b + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2b - 2a + 2\) - \(MC^2 = (3-a)^2 + (2-b)^2 + (4-c)^2 = 9 - 6a + a^2 + 4 - 4b + b^2 + 16 - 8c + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 4b - 8c + 29\) - \(MD^2 = (2-a)^2 + (-b)^2 + (2-c)^2 = 4 - 4a + a^2 + b^2 + 4 - 4c + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 4a - 4c + 8\) 5. Thay vào biểu thức \(P\): \[ P = (a^2 - 4a + b^2 + 3b + c^2 - 4c + 7)^2 + 2(a^2 + b^2 + c^2 + 2b - 2a + 2) + 3(a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 4b - 8c + 29) - 4(a^2 + b^2 + c^2 - 4a - 4c + 8) \] 6. Rút gọn biểu thức: \[ P = (a^2 - 4a + b^2 + 3b + c^2 - 4c + 7)^2 + 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 4b - 4a + 4 + 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 18a - 12b - 24c + 87 - 4a^2 - 4b^2 - 4c^2 + 16a + 16c - 32 \] \[ P = (a^2 - 4a + b^2 + 3b + c^2 - 4c + 7)^2 + a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 8b - 8c + 61 \] 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\): Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) sao cho các thành phần trong biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất. Ta thấy rằng: \[ a^2 - 4a + b^2 + 3b + c^2 - 4c + 7 = 0 \] Điều này xảy ra khi \(a = 2\), \(b = -\frac{3}{2}\), \(c = 2\). 8. Tổng \(a + b + c\): \[ a + b + c = 2 - \frac{3}{2} + 2 = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Vậy, tổng \(a + b + c\) là \(\frac{5}{2}\).