ngghiydydyhxxkxjg

Câu 4: a) Ta có: \[ \overrightarrow{BB^\prime} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC^\prime} \] - $\overrightarrow{BB^\prime}$ là vectơ từ B lên B'. - $\overrightarrow{BA}$ là vectơ từ B về A. - $\overrightarrow{BC^\prime}$ là vectơ từ B đến C'. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{BB^\prime} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{BD^\prime} \] b) Ta có: \[ \overrightarrow{CC^\prime} \cdot \overrightarrow{CD} \] - $\overrightarrow{CC^\prime}$ là vectơ từ C lên C'. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ từ C đến D. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{CC^\prime} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \] (vì CC' và CD vuông góc nhau). c) Ta có: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC^\prime}| \] - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. - $\overrightarrow{CC^\prime}$ là vectơ từ C lên C'. Ta thấy rằng: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC^\prime}| = \sqrt{6^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 81 + 144} = \sqrt{261} = 3\sqrt{29} \] d) Ta có: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BD} \] - $\overrightarrow{AH}$ là vectơ từ A đến H (H là trung điểm của A'C). - $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC^\prime}) \] \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} \] \[ \overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime}) \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \] Ta tính: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BD} = \left( \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime}) \right) \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}) \] \[ = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA^\prime} \cdot \overrightarrow{AD} \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( -6^2 + 0 + 0 + 9^2 + 0 + 0 \right) \] \[ = \frac{1}{2} \left( -36 + 81 \right) \] \[ = \frac{1}{2} \times 45 = 22.5 \] Đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 1. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow u . \overrightarrow v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \] Trong đó, $\overrightarrow u = (u_x, u_y, u_z)$ và $\overrightarrow v = (v_x, v_y, v_z)$. Áp dụng vào bài toán cụ thể: - $\overrightarrow u = (1, 1, -3)$ - $\overrightarrow v = (-5, 3, -2)$ Ta có: \[ \overrightarrow u . \overrightarrow v = 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) \] Tính từng thành phần: \[ 1 \cdot (-5) = -5 \] \[ 1 \cdot 3 = 3 \] \[ (-3) \cdot (-2) = 6 \] Cộng lại các kết quả: \[ \overrightarrow u . \overrightarrow v = -5 + 3 + 6 = 4 \] Vậy, tích vô hướng của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là: \[ \boxed{4} \] Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 12x + 4 \) trên đoạn \([0;3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x + 4) = 3x^2 - 12 \] 2. Xác định các điểm cực trị trong khoảng mở \((0, 3)\): Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 12 = 0 \] \[ 3(x^2 - 4) = 0 \] \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Trong đoạn \([0;3]\), chỉ có \( x = 2 \) nằm trong khoảng này. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 + 4 = 4 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 + 4 = 8 - 24 + 4 = -12 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 + 4 = 27 - 36 + 4 = -5 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( y(0) = 4 \) - \( y(2) = -12 \) - \( y(3) = -5 \) Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \(-12\). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 - 12x + 4 \) trên đoạn \([0;3]\) là \(-12\), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 3. Để tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{5x+7}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận ngang: - Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 7}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 5 \] - Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 5$. 2. Tìm tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] - Vậy tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$. 3. Xác định giá trị của $a$ và $b$: - Theo đề bài, tiệm cận ngang là $y = 8$, nhưng ta đã tìm được tiệm cận ngang là $y = 5$. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc dữ liệu đầu vào. - Tiệm cận đứng là $x = 1$, vậy $b = 1$. 4. Tính $2a + 3b$: - Vì $a$ không được xác định rõ ràng trong đề bài, ta giả sử $a = 5$ (tiệm cận ngang thực tế). - Vậy $2a + 3b = 2 \times 5 + 3 \times 1 = 10 + 3 = 13$. Đáp số: $2a + 3b = 13$. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm thời điểm mà mực nước trong hồ đạt giá trị lớn nhất. Mực nước trong hồ được mô tả bởi hàm số $h(t) = 20 + 24t - t^2$. Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $h(t)$. - Ta có $h(t) = 20 + 24t - t^2$. - Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta tính đạo hàm của $h(t)$: \[ h'(t) = 24 - 2t \] - Đặt $h'(t) = 0$ để tìm giá trị của $t$: \[ 24 - 2t = 0 \] \[ 2t = 24 \] \[ t = 12 \] Bước 2: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm $t = 12$. - Ta thấy $h''(t) = -2$, do đó $h''(12) = -2 < 0$. Điều này chứng tỏ hàm số $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = 12$. Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại $t = 12$. \[ h(12) = 20 + 24 \cdot 12 - 12^2 \] \[ h(12) = 20 + 288 - 144 \] \[ h(12) = 164 \] Bước 4: Xác định thời điểm cần thông báo cho các hộ dân. - Thời điểm bắt đầu mưa là 4 giờ sáng. - Thời điểm mực nước đạt giá trị lớn nhất là $t = 12$ giờ sau khi bắt đầu mưa, tức là vào 4 giờ sáng + 12 giờ = 4 giờ chiều. - Theo quy định, nhân viên phải thông báo cho các hộ dân trước 5 tiếng đồng hồ trước khi xả nước. Do đó, thời điểm cần thông báo là: \[ 4 \text{ giờ chiều} - 5 \text{ giờ} = 11 \text{ giờ sáng} \] Vậy, cần thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước lúc 11 giờ sáng. Câu 5. Để tính phương sai của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. 3. Tính trung bình cộng của các bình phương hiệu này. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng của mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các giá trị nhân với tần suất tương ứng rồi chia cho tổng số lượng mẫu. \[ \text{Trung bình cộng} = \frac{(0 + 5) \times 8 + (5 + 10) \times 16 + (10 + 15) \times 4 + (15 + 20) \times 2 + (20 + 26) \times 2}{8 + 16 + 4 + 2 + 2} \] \[ = \frac{(2.5 \times 8) + (7.5 \times 16) + (12.5 \times 4) + (17.5 \times 2) + (23 \times 2)}{32} \] \[ = \frac{20 + 120 + 50 + 35 + 46}{32} \] \[ = \frac{271}{32} \approx 8.47 \] Bước 2: Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng Ta tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng, sau đó nhân với tần suất tương ứng. \[ (2.5 - 8.47)^2 \times 8 + (7.5 - 8.47)^2 \times 16 + (12.5 - 8.47)^2 \times 4 + (17.5 - 8.47)^2 \times 2 + (23 - 8.47)^2 \times 2 \] \[ = (-5.97)^2 \times 8 + (-0.97)^2 \times 16 + (4.03)^2 \times 4 + (9.03)^2 \times 2 + (14.53)^2 \times 2 \] \[ = 35.6409 \times 8 + 0.9409 \times 16 + 16.2409 \times 4 + 81.5409 \times 2 + 211.1209 \times 2 \] \[ = 285.1272 + 15.0544 + 64.9636 + 163.0818 + 422.2418 \] \[ = 950.4688 \] Bước 3: Tính trung bình cộng của các bình phương hiệu này \[ \text{Phương sai} = \frac{950.4688}{32} \approx 29.7 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu trên là khoảng 29.7 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của mỗi chiếc máy bay. 2. Tìm tọa độ trung điểm của hai chiếc máy bay. 3. Tính khoảng cách từ điểm trung điểm đến mặt đất. Bước 1: Xác định tọa độ của mỗi chiếc máy bay - Chiếc máy bay thứ nhất: - Cách điểm xuất phát về phía Nam 50 km và về phía Đông 30 km. - Đồng thời cách mặt đất 5 km. - Tọa độ: (30, -50, 5) - Chiếc máy bay thứ hai: - Cách điểm xuất phát về phía Bắc 60 km và về phía Tây 40 km. - Đồng thời cách mặt đất 3 km. - Tọa độ: (-40, 60, 3) Bước 2: Tìm tọa độ trung điểm của hai chiếc máy bay Tọa độ trung điểm của hai điểm (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) là: \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ \left( \frac{30 + (-40)}{2}, \frac{-50 + 60}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{-10}{2}, \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right) \] \[ = (-5, 5, 4) \] Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm trung điểm đến mặt đất Khoảng cách từ điểm trung điểm đến mặt đất là giá trị của tọa độ z: \[ 4 \text{ km} \] Vậy chiếc máy bay thứ ba nằm ở tọa độ (-5, 5, 4) và cách mặt đất 4 km. Đáp số: Chiếc máy bay thứ ba cách mặt đất 4 km.