Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt (O) tại D. Gọi E là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh rằng BD.CE = BE.CD.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $BD \cdot CE = BE \cdot CD$, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và các tam giác đồng dạng.

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.
   - Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BC$ cắt $(O)$ tại $D$.
   - Điểm $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$.

2. Tính chất của điểm đối xứng:
   - Vì $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, nên $OE = OA$ và $OE$ vuông góc với $OA$.

3. Tính chất của đường kính và đường kính vuông góc:
   - $AD$ là đường kính của đường tròn $(O)$ vì $AD$ vuông góc với $BC$.
   - Do đó, $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$.

4. Tính chất của các tam giác đồng dạng:
   - Xét tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$:
     - $AB = AC$ (vì $A$ và $C$ đối xứng qua $O$).
     - $BD = CE$ (vì $D$ và $E$ đối xứng qua $O$).
     - $\angle BAD = \angle CAE$ (góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng).

- Từ đó suy ra tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $ACE$ theo tỉ lệ $k = 1$.

5. Áp dụng tính chất đồng dạng:
   - Vì tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $ACE$, nên:
     $$
     \frac{BD}{CE} = \frac{BE}{CD}
     $$

6. Nhân cả hai vế với $CE \cdot CD$:
   - Ta có:
     $$
     BD \cdot CE = BE \cdot CD
     $$

Vậy ta đã chứng minh được $BD \cdot CE = BE \cdot CD$.