giúp mình với Dy.....,Câu 13. Cho các điểm $A(3;1;0),~B(7;3;-2),~C(1;-1;0).$ Điểm M thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của,$T=|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|+|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}|$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?,ĐS:.....

Question

Accepted Answer

Câu 13.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T = |3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}| + |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}| $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm các vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, và $\overrightarrow{MC}$:
   Giả sử điểm $M$ có tọa độ $(x, y, z)$.

$$
   \overrightarrow{MA} = (3 - x, 1 - y, -z)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MB} = (7 - x, 3 - y, -2 - z)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MC} = (1 - x, -1 - y, -z)
   $$

2. Tính các vectơ $3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}$:
   $$
   3\overrightarrow{MA} = (9 - 3x, 3 - 3y, -3z)
   $$
   $$
   3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = (9 - 3x - (7 - x), 3 - 3y - (3 - y), -3z - (-2 - z)) = (2 - 2x, -2y, -2z + 2)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = ((3 - x) + (1 - x), (1 - y) + (-1 - y), -z + (-z)) = (4 - 2x, -2y, -2z)
   $$

3. Tính độ dài của các vectơ $3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}$:
   $$
   |3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(2 - 2x)^2 + (-2y)^2 + (-2z + 2)^2}
   $$
   $$
   |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{(4 - 2x)^2 + (-2y)^2 + (-2z)^2}
   $$

4. Biểu thức $T$:
   $$
   T = \sqrt{(2 - 2x)^2 + (-2y)^2 + (-2z + 2)^2} + \sqrt{(4 - 2x)^2 + (-2y)^2 + (-2z)^2}
   $$

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$:
   Để tìm giá trị nhỏ nhất của $T$, ta cần tìm điểm $M$ sao cho tổng các độ dài này nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tối ưu hóa biểu thức này.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể nhận thấy rằng biểu thức $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ nằm trên đường thẳng giữa các điểm $A$, $B$, và $C$. Ta thử với $M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối $A$ và $C$:

$$
   M = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{1 - 1}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0, 0)
   $$

Thay $M(2, 0, 0)$ vào biểu thức $T$:
   $$
   \overrightarrow{MA} = (3 - 2, 1 - 0, 0) = (1, 1, 0)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MB} = (7 - 2, 3 - 0, -2) = (5, 3, -2)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MC} = (1 - 2, -1 - 0, 0) = (-1, -1, 0)
   $$

$$
   3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = (3 - 5, 3 - 3, 0 + 2) = (-2, 0, 2)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = (1 - 1, 1 - 1, 0) = (0, 0, 0)
   $$

$$
   |3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
   $$
   $$
   |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0^2} = 0
   $$

$$
   T = 2\sqrt{2} + 0 = 2\sqrt{2} \approx 2.83
   $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ là $2.83$.