giải câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 26: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số \( y = f(x) = 1 - \sqrt{x+1} \) và đường thẳng \( x = 3 \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm M Vì đường thẳng \( x = 3 \) là một đường thẳng đứng, nên tại điểm M, hoành độ \( x = 3 \). Thay \( x = 3 \) vào hàm số \( y = 1 - \sqrt{x+1} \) để tìm tung độ \( y \): \[ y = 1 - \sqrt{3+1} = 1 - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1 \] Vậy tọa độ điểm M là \( (3, -1) \). Bước 2: Tính độ dài đoạn \( OM \) Điểm O là gốc tọa độ có tọa độ \( (0, 0) \). Độ dài đoạn \( OM \) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ: \[ OM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] Vậy độ dài đoạn \( OM = \sqrt{10} \). Kết luận: Đáp án đúng là A. \( OM = \sqrt{10} \). Câu 27: Để tìm số điểm chung phân biệt của hai đồ thị $(C_1)$ và $(C_2)$, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị này. Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ là: \[ 2x^3 - 3x + 1 = x^3 + x + 1 \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 2x^3 - 3x + 1 - x^3 - x - 1 = 0 \] \[ x^3 - 4x = 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Giải phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: \( x = 0 \), \( x = 2 \), và \( x = -2 \). Do đó, số điểm chung phân biệt của $(C_1)$ và $(C_2)$ là 3. Mệnh đề đúng là: \[ D.~n=3 \] Câu 28: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax+b}{x+c} \). Bước 1: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( x + c = 0 \) hay \( x = -c \). Quan sát đồ thị, ta thấy có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Do đó, \( -c = 1 \) hay \( c = -1 \). Bước 2: Xác định tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{ax+b}{x+c} \) là \( y = a \) khi \( x \to \pm \infty \). Quan sát đồ thị, ta thấy tiệm cận ngang là \( y = -2 \). Do đó, \( a = -2 \). Bước 3: Xác định điểm cắt trục tung Điểm cắt trục tung xảy ra khi \( x = 0 \). Khi đó, \( y = \frac{b}{c} \). Quan sát đồ thị, điểm cắt trục tung là \( y = 1 \). Do đó, \( \frac{b}{-1} = 1 \) hay \( b = -1 \). Kết luận Từ các bước trên, ta có \( a = -2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \). Vậy đáp án đúng là \( A.~a=2,~b=c=-1 \). Tuy nhiên, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong đáp án. Đáp án đúng phải là \( D.~a=-2,b=c=1 \), nhưng với \( c = -1 \) như đã tìm ra. Vậy đáp án chính xác là không có trong các lựa chọn. Câu 29: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax + 4 - b}{cx + b} \). Bước 1: Xác định tiệm cận 1. Tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( cx + b = 0 \). Do đó, \( x = -\frac{b}{c} \). 2. Tiệm cận ngang: Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Ta có: \[ y = \frac{ax + 4 - b}{cx + b} \approx \frac{a}{c} \quad \text{khi} \quad x \to \pm \infty \] Vậy tiệm cận ngang là \( y = \frac{a}{c} \). Bước 2: Phân tích đồ thị Quan sát đồ thị, ta thấy: - Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. - Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, điều này cho thấy \( a \) và \( c \) có dấu trái ngược nhau. Bước 3: Xác định dấu của \( a \), \( b \), \( c \) 1. Dấu của \( c \): - Tiệm cận đứng là \( x = -\frac{b}{c} \). Để \( x \) dương, \( c \) phải âm vì \( b > 0 \). 2. Dấu của \( a \): - Tiệm cận ngang là \( y = \frac{a}{c} \). Đồ thị nằm ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, nên \( \frac{a}{c} > 0 \). Vì \( c < 0 \), nên \( a > 0 \). 3. Dấu của \( b \): - Đồ thị cắt trục tung tại \( y = \frac{4-b}{b} \). Để điểm cắt nằm trên trục tung, \( b < 4 \). Bước 4: Kết luận Từ các phân tích trên, ta có: - \( a > 0 \) - \( 0 < b < 4 \) - \( c < 0 \) Vậy đáp án đúng là \( \boxed{D} \). Câu 30: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho đồ thị hàm số \( y = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x + m \) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Điều này tương đương với việc phương trình \( x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 6x + m = 0 \) có ba nghiệm phân biệt. Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt Để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt, ta cần xét đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 9x + 6. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 9x + 6 = 0 \] \[ \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0. \] Vậy, \( x = 1 \) và \( x = 2 \) là hai điểm cực trị của hàm số. Để hàm số có ba nghiệm phân biệt, giá trị của hàm số tại các điểm cực trị phải khác dấu, tức là: \[ y(1) \cdot y(2) < 0. \] Tính \( y(1) \) và \( y(2) \): \[ y(1) = 1^3 - \frac{9}{2} \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + m = 1 - \frac{9}{2} + 6 + m = m + \frac{5}{2}. \] \[ y(2) = 2^3 - \frac{9}{2} \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 + m = 8 - 18 + 12 + m = m + 2. \] Điều kiện để hàm số có ba nghiệm phân biệt là: \[ \left(m + \frac{5}{2}\right) \cdot (m + 2) < 0. \] Giải bất phương trình: \[ m + \frac{5}{2} < 0 \quad \text{và} \quad m + 2 > 0 \quad \text{hoặc} \quad m + \frac{5}{2} > 0 \quad \text{và} \quad m + 2 < 0. \] Từ đó, ta có: 1. \( m < -\frac{5}{2} \) và \( m > -2 \) (không có giá trị thỏa mãn). 2. \( m > -\frac{5}{2} \) và \( m < -2 \). Vậy, \( -\frac{5}{2} < m < -2 \). Bước 2: Xét các mệnh đề Với \( -\frac{5}{2} < m < -2 \), phương trình có ba nghiệm phân biệt \( x_1, x_2, x_3 \) với \( x_1 < x_2 < x_3 \). Mệnh đề A: \( 1 < x_1 < 2 < x_2 < 3 < x_3 \) - Tại \( x = 1 \), \( y(1) = m + \frac{5}{2} \). Với \( m > -\frac{5}{2} \), ta có \( y(1) > 0 \). - Tại \( x = 2 \), \( y(2) = m + 2 \). Với \( m < -2 \), ta có \( y(2) < 0 \). Do đó, giữa \( x = 1 \) và \( x = 2 \), hàm số có một nghiệm \( x_1 \) với \( 1 < x_1 < 2 \). - Tại \( x = 3 \), \( y(3) = 27 - \frac{81}{2} + 18 + m = m - \frac{9}{2} \). Với \( m > -\frac{5}{2} \), ta có \( y(3) > 0 \). Do đó, giữa \( x = 2 \) và \( x = 3 \), hàm số có một nghiệm \( x_2 \) với \( 2 < x_2 < 3 \). - Nghiệm \( x_3 \) nằm sau \( x = 3 \). Vậy, mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: \( 1 < x_1 < x_2 < 2 < x_3 < 3 \) - Như đã phân tích, \( x_2 \) nằm giữa \( 2 \) và \( 3 \), không thể nằm trước \( 2 \). Vậy, mệnh đề B sai. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai.