Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x + 1 trên đoạn [0; 3]; b) g(x)=x+1x trên khoảng (0; 5); c) h(x)=x√2−x2

Câu a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1 \) trên đoạn \([0; 3]\). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \] Bước 3: Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \), và \( x = 3 \): \[ f(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 + 12(0) + 1 = 1 \] \[ f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 1 = 2 - 9 + 12 + 1 = 6 \] \[ f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 1 = 16 - 36 + 24 + 1 = 5 \] \[ f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) + 1 = 54 - 81 + 36 + 1 = 10 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\) là 10, đạt được khi \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\) là 1, đạt được khi \( x = 0 \). Câu b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( g(x) = x + \frac{1}{x} \) trên khoảng \((0; 5)\). Bước 1: Tính đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( g'(x) = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \text{ (vì \( x > 0 \))} \] Bước 3: Tính giá trị của \( g(x) \) tại \( x = 1 \): \[ g(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2 \] Bước 4: Xét giới hạn của \( g(x) \) khi \( x \to 0^+ \) và \( x \to 5^- \): \[ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( x + \frac{1}{x} \right) = +\infty \] \[ \lim_{x \to 5^-} g(x) = 5 + \frac{1}{5} = 5.2 \] Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của \( g(x) \) trên khoảng \((0; 5)\) là \( +\infty \) (không tồn tại giá trị cụ thể). - Giá trị nhỏ nhất của \( g(x) \) trên khoảng \((0; 5)\) là 2, đạt được khi \( x = 1 \). Câu c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( h(x) = x \sqrt{2 - x^2} \). Bước 1: Xác định miền xác định của \( h(x) \): \[ 2 - x^2 \geq 0 \] \[ x^2 \leq 2 \] \[ -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( h(x) \): \[ h'(x) = \sqrt{2 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{2 - x^2}} \] \[ h'(x) = \sqrt{2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{2 - x^2}} \] \[ h'(x) = \frac{(2 - x^2) - x^2}{\sqrt{2 - x^2}} \] \[ h'(x) = \frac{2 - 2x^2}{\sqrt{2 - x^2}} \] \[ h'(x) = \frac{2(1 - x^2)}{\sqrt{2 - x^2}} \] Bước 3: Giải phương trình \( h'(x) = 0 \): \[ \frac{2(1 - x^2)}{\sqrt{2 - x^2}} = 0 \] \[ 1 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 4: Tính giá trị của \( h(x) \) tại \( x = 1 \), \( x = -1 \), \( x = \sqrt{2} \), và \( x = -\sqrt{2} \): \[ h(1) = 1 \sqrt{2 - 1^2} = 1 \sqrt{1} = 1 \] \[ h(-1) = -1 \sqrt{2 - (-1)^2} = -1 \sqrt{1} = -1 \] \[ h(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \sqrt{2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} \sqrt{0} = 0 \] \[ h(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \sqrt{2 - (-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} \sqrt{0} = 0 \] Bước 5: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của \( h(x) \) là 1, đạt được khi \( x = 1 \). - Giá trị nhỏ nhất của \( h(x) \) là -1, đạt được khi \( x = -1 \).