giải ngắn gọn hết mức giúp mình Câu 4 (ID: 232997),Biết đồ thị hàm số $f(x)=\sqrt{4x^2-3x+5}-mx+n$ có tiệm cận ngang $y=2.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức,$P=m^2+4n$ bbằng:

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = m^2 + 4n $, chúng ta cần xác định các giá trị của $ m $ và $ n $ dựa trên thông tin về tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 3x + 5} - mx + n $.

1. Xác định tiệm cận ngang:
   Tiệm cận ngang của hàm số $ f(x) $ là $ y = 2 $. Điều này có nghĩa là khi $ x \to \pm \infty $, $ f(x) \to 2 $.

2. Phân tích hàm số khi $ x \to \pm \infty $:
   Khi $ x \to \pm \infty $, $ \sqrt{4x^2 - 3x + 5} \approx \sqrt{4x^2} = 2|x| $. Do đó, hàm số $ f(x) $ có dạng:
   $$
   f(x) \approx 2|x| - mx + n
   $$
   Để $ f(x) \to 2 $ khi $ x \to \pm \infty $, ta cần cân bằng các hạng tử bậc cao nhất của $ x $:
   $$
   2|x| - mx \to 2
   $$

3. Xác định giá trị của $ m $:
   - Khi $ x \to +\infty $, $ |x| = x $, nên:
     $$
     2x - mx \to 2 \implies (2 - m)x \to 2
     $$
     Để $ (2 - m)x \to 2 $ khi $ x \to +\infty $, ta cần $ 2 - m = 0 $, tức là $ m = 2 $.

- Khi $ x \to -\infty $, $ |x| = -x $, nên:
     $$
     2(-x) - mx \to 2 \implies (-2 - m)x \to 2
     $$
     Để $ (-2 - m)x \to 2 $ khi $ x \to -\infty $, ta cần $ -2 - m = 0 $, tức là $ m = -2 $.

Tuy nhiên, để đảm bảo tính nhất quán, ta chọn $ m = 2 $ vì $ m = -2 $ sẽ không thỏa mãn cả hai trường hợp.

4. Xác định giá trị của $ n $:
   Với $ m = 2 $, ta có:
   $$
   f(x) = \sqrt{4x^2 - 3x + 5} - 2x + n
   $$
   Khi $ x \to \pm \infty $, $ \sqrt{4x^2 - 3x + 5} \approx 2|x| $, nên:
   $$
   f(x) \approx 2|x| - 2x + n
   $$
   Để $ f(x) \to 2 $ khi $ x \to \pm \infty $, ta cần:
   $$
   2|x| - 2x + n \to 2
   $$
   Khi $ x \to +\infty $, $ |x| = x $, nên:
   $$
   2x - 2x + n \to 2 \implies n = 2
   $$

5. Tính giá trị của $ P $:
   Với $ m = 2 $ và $ n = 2 $, ta có:
   $$
   P = m^2 + 4n = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12
   $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = m^2 + 4n $ là $ 12 $.