giúp t giải với ạ

Câu 24: Để tìm nguyên hàm của \( F(x) = \int \frac{x^3}{x^4 - 1} \, dx \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = x^4 - 1 \). Khi đó, \( du = 4x^3 \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. \[ \int \frac{x^3}{x^4 - 1} \, dx = \int \frac{x^3}{u} \cdot \frac{du}{4x^3} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \, du \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{4} \ln |u| + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. \[ \frac{1}{4} \ln |u| + C = \frac{1}{4} \ln |x^4 - 1| + C \] Vậy, nguyên hàm của \( F(x) = \int \frac{x^3}{x^4 - 1} \, dx \) là: \[ F(x) = \frac{1}{4} \ln |x^4 - 1| + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{1}{4} \ln |x^4 - 1| + C \) Đáp số: B. \( F(x) = \frac{1}{4} \ln |x^4 - 1| + C \) Câu 25: Để tính tích phân \( A = \int \sin^2 x \cos^3 x \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp giải. - Ta nhận thấy rằng trong tích phân này có cả \(\sin^2 x\) và \(\cos^3 x\). Để dễ dàng tích phân, ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 2: Thay đổi biến số. - Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, \( du = \cos x \, dx \). Bước 3: Biến đổi tích phân. - Ta có: \[ \cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x = \cos x \cdot (1 - \sin^2 x) = \cos x \cdot (1 - u^2) \] - Do đó, tích phân trở thành: \[ A = \int \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \int u^2 \cdot \cos x \cdot (1 - u^2) \, dx \] - Thay \( du = \cos x \, dx \): \[ A = \int u^2 (1 - u^2) \, du \] Bước 4: Tính tích phân. - Ta có: \[ A = \int (u^2 - u^4) \, du \] - Tích phân từng phần: \[ A = \int u^2 \, du - \int u^4 \, du \] \[ A = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. - Thay \( u = \sin x \) vào kết quả: \[ A = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( A = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C \) Đáp án: A. \( A = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C \) Câu 26: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin^4 x \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, đạo hàm của \( u \) là: \[ \frac{du}{dx} = \cos x \] Hay \( du = \cos x \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. Nguyên hàm ban đầu là: \[ \int \sin^4 x \cos x \, dx \] Thay \( u = \sin x \) và \( du = \cos x \, dx \): \[ \int \sin^4 x \cos x \, dx = \int u^4 \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^4 \). \[ \int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = \sin x \) trở lại: \[ \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin^4 x \cos x \) là: \[ F(x) = \frac{1}{5} \sin^5 x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( F(x) = \frac{1}{5} \sin^5 x + C \) Đáp án: A. \( F(x) = \frac{1}{5} \sin^5 x + C \) Câu 27: Để tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sin^4 x \cos^5 x \), chúng ta sẽ xem xét từng phương pháp đã đưa ra. A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt \( t = \cos x \): - Nếu đặt \( t = \cos x \), thì \( dt = -\sin x \, dx \). - Biểu thức \( \sin^4 x \cos^5 x \) sẽ trở thành \( \sin^4 x \cdot t^5 \). - Ta cần chuyển đổi \( \sin^4 x \) sang \( t \). Biết rằng \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2 \), nên \( \sin^4 x = (1 - t^2)^2 \). Do đó, nguyên hàm sẽ là: \[ \int \sin^4 x \cos^5 x \, dx = \int (1 - t^2)^2 t^5 (-dt) = -\int (1 - 2t^2 + t^4) t^5 \, dt = -\int (t^5 - 2t^7 + t^9) \, dt \] B. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt \( u = \cos x \) và \( dv = \sin^4 x \cos^4 x \, dx \): - Đây là phương pháp phức tạp hơn và khó thực hiện vì \( dv = \sin^4 x \cos^4 x \, dx \) không dễ dàng để tích phân trực tiếp. C. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt \( u = \sin^4 x \) và \( dv = \cos^5 x \, dx \): - Đây cũng là phương pháp phức tạp và khó thực hiện vì \( dv = \cos^5 x \, dx \) không dễ dàng để tích phân trực tiếp. D. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt \( t = \sin x \): - Nếu đặt \( t = \sin x \), thì \( dt = \cos x \, dx \). - Biểu thức \( \sin^4 x \cos^5 x \) sẽ trở thành \( t^4 \cos^4 x \cos x \). - Ta cần chuyển đổi \( \cos^4 x \) sang \( t \). Biết rằng \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2 \), nên \( \cos^4 x = (1 - t^2)^2 \). Do đó, nguyên hàm sẽ là: \[ \int \sin^4 x \cos^5 x \, dx = \int t^4 (1 - t^2)^2 \, dt = \int t^4 (1 - 2t^2 + t^4) \, dt = \int (t^4 - 2t^6 + t^8) \, dt \] So sánh các phương pháp trên, phương pháp đổi biến số \( t = \cos x \) hoặc \( t = \sin x \) đều đơn giản hơn và dễ thực hiện hơn. Tuy nhiên, phương pháp đổi biến số \( t = \cos x \) đã được chứng minh là dễ dàng hơn trong việc chuyển đổi và tích phân. Vậy phương án đúng là: A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt \( t = \cos x \). Câu 28: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos 3x \tan x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = \cos 3x \tan x \] Bước 2: Biến đổi biểu thức \( \cos 3x \tan x \). Ta biết rằng: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] Do đó: \[ f(x) = \cos 3x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos 3x \sin x}{\cos x} \] Bước 3: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Ta biết rằng: \[ \cos 3x \sin x = \frac{1}{2} [\sin(3x + x) - \sin(3x - x)] = \frac{1}{2} [\sin 4x - \sin 2x] \] Do đó: \[ f(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin 4x - \sin 2x}{\cos x} \right) \] Bước 4: Tính nguyên hàm từng phần. Ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{2} \left( \frac{\sin 4x - \sin 2x}{\cos x} \right) \, dx \] Chia thành hai tích phân riêng biệt: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int \frac{\sin 4x}{\cos x} \, dx - \int \frac{\sin 2x}{\cos x} \, dx \right) \] Bước 5: Tính từng tích phân. Tích phân thứ nhất: \[ \int \frac{\sin 4x}{\cos x} \, dx \] Tích phân thứ hai: \[ \int \frac{\sin 2x}{\cos x} \, dx \] Bước 6: Kết hợp lại và kiểm tra đáp án. Sau khi tính toán, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ \int f(x) \, dx = -\frac{4}{3} \cos^3 x + 3 \cos x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \( -\frac{4}{3} \cos^3 x + 3 \cos x + C \) Đáp án: C. \( -\frac{4}{3} \cos^3 x + 3 \cos x + C \) Câu 29: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{(2\ln x + 3)^3}{x} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = 2\ln x + 3 \). Bước 2: Tính vi phân của biến số mới. \[ du = \frac{d}{dx}(2\ln x + 3) \, dx = \frac{2}{x} \, dx \] Do đó: \[ dx = \frac{x}{2} \, du \] Bước 3: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. \[ \int \frac{(2\ln x + 3)^3}{x} \, dx = \int \frac{u^3}{x} \cdot \frac{x}{2} \, du = \int \frac{u^3}{2} \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm của biểu thức mới. \[ \int \frac{u^3}{2} \, du = \frac{1}{2} \int u^3 \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{u^4}{8} + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. \[ \frac{u^4}{8} + C = \frac{(2\ln x + 3)^4}{8} + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{(2\ln x + 3)^3}{x} \) là: \[ \frac{(2\ln x + 3)^4}{8} + C \] Đáp án đúng là: C. $\frac{(2\ln x + 3)^4}{8} + C$. Câu 30: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{8 - x^2}} \). 2. Áp dụng điều kiện \( F(2) = 0 \) để xác định hằng số nguyên hàm. 3. Giải phương trình \( F(x) = x \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = \frac{x}{\sqrt{8 - x^2}} \] Đặt \( u = 8 - x^2 \). Khi đó \( du = -2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = -\frac{1}{2} \, du \). Do đó: \[ \int \frac{x}{\sqrt{8 - x^2}} \, dx = \int \frac{-\frac{1}{2} \, du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du \] Tính nguyên hàm: \[ -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = -\frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C \] Thay lại \( u = 8 - x^2 \): \[ F(x) = -\sqrt{8 - x^2} + C \] Bước 2: Áp dụng điều kiện \( F(2) = 0 \) để xác định hằng số \( C \). \[ F(2) = -\sqrt{8 - 2^2} + C = 0 \] \[ -\sqrt{8 - 4} + C = 0 \] \[ -\sqrt{4} + C = 0 \] \[ -2 + C = 0 \] \[ C = 2 \] Vậy: \[ F(x) = -\sqrt{8 - x^2} + 2 \] Bước 3: Giải phương trình \( F(x) = x \). \[ -\sqrt{8 - x^2} + 2 = x \] \[ -\sqrt{8 - x^2} = x - 2 \] \[ \sqrt{8 - x^2} = 2 - x \] Căn bậc hai phải không âm, do đó: \[ 2 - x \geq 0 \] \[ x \leq 2 \] Bình phương cả hai vế: \[ 8 - x^2 = (2 - x)^2 \] \[ 8 - x^2 = 4 - 4x + x^2 \] \[ 8 - x^2 = 4 - 4x + x^2 \] \[ 8 - 4 = x^2 + x^2 - 4x \] \[ 4 = 2x^2 - 4x \] \[ 2x^2 - 4x - 4 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \] Kiểm tra điều kiện \( x \leq 2 \): - \( x = 1 + \sqrt{3} \) không thỏa mãn vì \( \sqrt{3} > 1 \). - \( x = 1 - \sqrt{3} \) thỏa mãn vì \( \sqrt{3} < 2 \). Vậy nghiệm của phương trình \( F(x) = x \) là: \[ x = 1 - \sqrt{3} \] Đáp án đúng là: D. \( x = 1 - \sqrt{3} \) Câu 31: Để tính tích phân $\int \frac{dx}{e^x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta thấy rằng tích phân này có dạng phức tạp do mẫu số là $e^x + 1$. Để đơn giản hóa, ta có thể thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho $e^x$: \[ \int \frac{dx}{e^x + 1} = \int \frac{\frac{1}{e^x}}{\frac{e^x}{e^x} + \frac{1}{e^x}} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx \] Bước 2: Đặt $u = 1 + e^{-x}$, suy ra $du = -e^{-x} dx$, hay $e^{-x} dx = -du$. Bước 3: Thay vào tích phân: \[ \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u} \] Bước 4: Tính tích phân cơ bản: \[ -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C \] Bước 5: Quay lại biến ban đầu: \[ -\ln|u| + C = -\ln|1 + e^{-x}| + C \] Bước 6: Ta có thể viết lại kết quả dưới dạng: \[ -\ln(1 + e^{-x}) + C \] Bước 7: Ta kiểm tra lại các đáp án đã cho để tìm đáp án đúng. Ta thấy rằng đáp án D gần giống với kết quả trên: \[ D. \ln(e^x + 1) - \ln 2 \] Ta có thể viết lại kết quả của chúng ta: \[ -\ln(1 + e^{-x}) = -\ln\left(\frac{e^x + 1}{e^x}\right) = -\left(\ln(e^x + 1) - \ln(e^x)\right) = \ln(e^x) - \ln(e^x + 1) \] Do đó, ta có: \[ \ln(e^x) - \ln(e^x + 1) = -\ln(e^x + 1) + \ln(e^x) = -\ln(e^x + 1) + x \] Nhưng nếu ta thêm hằng số $\ln 2$ vào, ta sẽ có: \[ -\ln(e^x + 1) + x + \ln 2 = \ln(e^x) - \ln(e^x + 1) + \ln 2 = \ln\left(\frac{e^x}{e^x + 1}\right) + \ln 2 = \ln\left(\frac{e^x}{e^x + 1} \cdot 2\right) = \ln\left(\frac{2e^x}{e^x + 1}\right) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \ln\frac{2e^x}{e^x + 1}} \] Câu 32: Muốn tìm họ nguyên hàm của \( \tan x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức cần tính nguyên hàm. \[ f(x) = \tan x \] Bước 2: Biến đổi biểu thức \( \tan x \) thành dạng dễ tích phân hơn. \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( \frac{\sin x}{\cos x} \). Ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. - Đặt \( u = \cos x \), suy ra \( du = -\sin x \, dx \). Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{-du}{u} \] Bước 5: Tính nguyên hàm của \( \frac{-du}{u} \): \[ \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C \] Bước 6: Quay lại biến số ban đầu: \[ -\ln |\cos x| + C \] Vậy họ nguyên hàm của \( \tan x \) là: \[ \int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C \] Đáp số: \[ \int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C \]