giúppp e ạaaa Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $AB=AD=1$ và $AA^\prime=2.$,,$a)~\overrightarrow{AD^\prime}=\overrightarrow{BC^\prime}.$,$b)|\overrightarrow{BD}|=|\overrightarrow{CD^\prime}|=\sqrt2.$

Question

giúppp e ạaaa Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27; có $AB=AD=1$ và $AA^\prime=2.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/c6927926778e4cd38e5c56b285d2bea3.jpg />,$a)~\overrightarrow{AD^\prime}=\overrightarrow{BC^\prime}.$,$b)|\overrightarrow{BD}|=|\overrightarrow{CD^\prime}|=\sqrt2.$

Vu Nguyen · Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A'(0,0,2)$.

Suy ra: $C(1,1,0)$, $C'(1,1,2)$, $D'(0,1,2)$.

a)

$\vec{AD'} = (0-0, 1-0, 2-0) = (0, 1, 2)$

$\vec{BC'} = (1-1, 1-0, 2-0) = (0, 1, 2)$

$\implies \vec{AD'} = \vec{BC'}$ (đpcm).

b)

$\vec{BD} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

$\vec{CD'} = (0-1, 1-1, 2-0) = (-1, 0, 2)$

$|\vec{CD'}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

vậy

Mệnh đề a) đúng.

Mệnh đề b) sai

Timi · Answer

Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $\overrightarrow{AD^\prime} = \overrightarrow{BC^\prime}$.

Phân tích:

- Hình hộp chữ nhật có các cạnh song song và bằng nhau.
- Ta có $AB = AD = 1$ và $AA&#x27; = 2$.

Xét $\overrightarrow{AD^\prime}$:

- $\overrightarrow{AD^\prime} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD^\prime}$.
- Vì $AD = 1$ và $DD^\prime$ là cạnh thẳng đứng của hình hộp chữ nhật, nên $\overrightarrow{DD^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} = 2$.

Do đó, $\overrightarrow{AD^\prime} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} = 1\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{k}$.

Xét $\overrightarrow{BC^\prime}$:

- $\overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC^\prime}$.
- Vì $BC = AD = 1$ và $CC^\prime = AA^\prime = 2$.

Do đó, $\overrightarrow{BC^\prime} = 1\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{k}$.

Kết luận:

$\overrightarrow{AD^\prime} = \overrightarrow{BC^\prime}$.

b) Chứng minh $|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{CD^\prime}| = \sqrt{2}$.

Phân tích:

- $\overrightarrow{BD}$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$.
- $\overrightarrow{CD^\prime}$ là đường chéo của hình chữ nhật $CC&#x27;D&#x27;D$.

Tính $|\overrightarrow{BD}|$:

- $|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Tính $|\overrightarrow{CD^\prime}|$:

- $|\overrightarrow{CD^\prime}| = \sqrt{CD^2 + DD^\prime^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Kết luận:

$|\overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{CD^\prime}| = \sqrt{2}$.

Vậy, cả hai phần của bài toán đã được chứng minh.